航运定价建模研究

1引言

收益管理作为现代航空公司提高收入、参与市场竞争的不可或缺的手段，已经在国外航空公司创造了巨大奇迹。资料统计，世界各主要航空公司通过使用收益管理技术，年收入增加了2％至8％［1］。相应地，学术界也涌现了大量文献对航空公司收益管理进行研究。McGill与vanRyzin［2］，Talluri与vanRyzin［3］，Chiang与Chen［4］以及Shen和Su［5］对已有研究作了比较全面的综述。由此可以看出，大部分研究主要针对单个航班的收益管理问题。近年来，随着航空公司之间激烈的竞争，学术界也开始关注并研究不同航空公司之间多个航班竞争的收益管理模型。

当前航空客运市场竞争激烈，多家航空公司在同一航线上竞争，但是，对每家航空公司而言，也有一些属于自己的相对垄断的航线。而且，为了满足不同旅客的需求，航空公司通常在同一条航线上提供多个不同时刻起飞的航班。我们称其为平行航班。如国内某航空公司在某航线上提供了两个平行航班A和B。它们的起飞时间不同：航班A起飞时间为下午17：15，到达时间为晚上21：15，航班B起飞时间为晚上20：10，到达时间为晚上24：10。两个航班的机型配置完全相同，都是73G型飞机。因此，旅客在选择该公司的这条航线时，主要基于航班时刻和票价考虑。我们从该公司销售部选取了该航线上某一时期各航班的销售数据作为基础数据来源分析航班需求状况，得到一些统计指标。从统计指标中可以看出，航班A的平均客座率为92．60％，B为89．80％，两者相差不大，总的平均客座率接近91．2％。由此可看出两航班需求处于比较充足的状况。实际中，航线经理也认为这是相对垄断航线，需求旺盛，所以，都采取一个固定的价格销售，即全价票销售。事实上，航班A的客座率（92．60％）比航班B的客座率（89．80％）多出近三个百分点，但是，航班A的平均票价为1036元，B为1047元，B比A还要高11元。这种现象是不合理的。因为，前面提及，该航线上价格和航班时刻是对需求影响的主要因素，可以看到，航班B的起飞时刻不如航班A的起飞时刻好，这时更应该充分利用价格杠杆来调节需求。另一方面，我们从该航线的价格结构进行分析。虽然该航线上也设置了多等级价格结构，即有头等舱（F舱），公务舱（C舱），普通舱（Y舱）的Y、T、K、H、M、G、S、L、Q、E、V、R、J和I共十四个价格等级，对应的价格等级为Y是全价票，T舱为0．9折，后面依次按照0．05折扣递减。由某个时期A、B两个航班的出票情况可以看出航班A和航班B的出票来源都是以Y等级票为主，尤其是航班B除了Y等级的出票之外，其他各等级出票情况几乎相同，即几乎没有卖折扣票。这说明，航班价格等级过分依赖高价，没有深度挖掘低价市场，尤其没有考虑如何利用动态定价策略，将部分需求转移至其他航班，以提高整个航线总的收入。一般来说，旅客根据其偏好，在公司的多个航班之间进行选择。通常，高价值旅客对票价不敏感，对时间敏感，愿意坐一天中较好时间段的航班，如上午或者下午的航班；而低价值旅客对时间不敏感，只要价格合适，他们愿意坐任何时段的航班。所以，航空公司一般可以采取相应的定价策略，提高整个航线的收入。一般航空公司可以在早上或晚上的航班制定低价，在上午或下午的航班制定高价，这样使更多低价值旅客购买早上或晚上航班，而将上午或下午的航班留给高价值旅客。对于上面例举的航线来说，航班B在夜间，高价值旅客会更愿意选择下午的航班A，因此，下午的航班更适合使用高价策略，而夜间的航班要以最大化吸引顾客（尤其是低价值顾客）为主要目标，使用高价策略的效果可能不如下午的航班好。基于此，本文针对航空公司的该类问题为研究对象，根据旅客需求的特点，采取动态定价策略，优化多个航班的收入，从而提高公司总的收入。这个问题与以前其他文献所讨论的航空公司在同一航班上选择不同等级价格的问题是完全不同的。

动态定价策略研究作为收益管理的一个重要分支，在国外研究中取得了丰硕的成果。McGill和vanRyzin［2］、Bitran和Caldentey［6］、Talluri和vanRyzin［3］都从收益管理的角度对价格策略的研究进行了综述。Elmaghraby和Keskinocak［7］也从产品生命周期较长和较短的情况下定价策略、综合考虑库存和定价决策和在理性消费者的市场中定价等多个角度进行了文献综述。从以上几篇具有代表性的综述文献看，大量的文献主要针对单一产品的定价，而对多产品的动态定价问题讨论较少。Gallego和vanRyzin［8］研究了多产品动态定价问题，得出了渐近最优的启发式方法，并将结果应用于多航段的收益管理问题。本文虽然也是属于多产品动态定价的范畴，但是，由于航空客运垄断航线上航班的特殊性，即多个航班起飞时刻不同，因此，本文的多产品的失效性时间不同，这与Gallego和vanRyzin［8］研究的多产品具有相同失效时间不一样。而且，与他们提出启发式方法求解该模型不同，我们得到的是考虑两个平行航班情况下的最优解。Gallego和Philips［9］提出了“柔性产品”的概念，即服务于同一市场的功能相同的多种产品组合，并将该概念应用到多航段的收 益管理 问题，得到了近似最优解。Zhang和Cooper［10］提出了基于顾客选择行为的两个平 行 航 班 收 益 管 理 舱 位 控 制 模 型，Zhang和Cooper［11］还考虑了基于顾客选择行为的两个平行航班动态定价模型。他们在两篇文章中利用马尔科夫决策过程建立了离散时间随机动态模型，并采用基于价值和策略近似的启发式方法来解决髙维马尔科夫的问题，同时得到了价值函数的上界和下界，没有得到精确的解析解。本文的研究问题与他们的相同，但是，不同之处在于：一是研究方法不同。本文应用随机控制理论，根据两个平行航班的相互影响的需求构建连续时间随机动态模型；而他们建立了离散时间随机动态模型。二是研究结果不同：本文通过对最优价值函数的Hamilton－Jacobi等式和最优价格策略性质分析，递推求解出价值函数的解析解和时间阀值点。而他们只得到了价值函数的上界和下界，没有得到精确的解析解。

目前，国内学者对于航空客运收益管理的研究已经从定性讨论其概念、意义及实施的必要性等方面转向定量研究，而且已经开始涉及前沿问题研究。罗利和萧柏春［12］对国内航空客运收益管理研究进行了较全面的综述。罗利等［13］研究了基于需求转移的新老产品替代的易逝性产品动态定价策略。罗利等［14］也研究了在竞争市场环境下，两家航空公司的两个航班两级价格动态定价连续时间数学模型，给出了均衡解满足的条件，并探讨了模型求解的方法及相关性质。陈剑等［15］借鉴供应链协调机制研究的框架，探讨航空公司与旅行社在机票销售中如何进行协作使得在实现整体利益最大化的基础上，同时实现各自收益最大化。李晓花和萧柏春［16］建立了航空客运动态定价与舱位控制的统一模型，并得到了最优策略。朱金福等［17］建立了航空客运舱位控制和超售综合动态模型，提出了并行控制和串行控制两种动态策略。李豪等［18］研究了竞争环境下航空公司动态定价模型。肖勇波，陈剑等［19］也研究了双航班（即本文的平行航班）的动态定价策略。但是，与他们建立离散时间模型不同的是，本文建立了连续时间动态定价模型，而且，本文通过对最优价值函数的Hamilton－Jacobi等式和最优价格策略性质分析，递推求解出价值函数的解析解和时间阀值点。数值实验结果也表明了我们这种时间阈值点的综合控制策略易于实施，而且，应用该策略得到的总收入比两个平行航班单独决策时得到的总收入大。这对实践具有指导意义。

综观国内外文献，虽然航空公司收益管理的研究文献很多，但是，研究在相对垄断的航线上，航空公司的多个平行航班的动态定价问题很少。本文在Zhang和Cooper［11］研究基础上，研究一种相对简单的情形，即只考虑一家航空公司的两个平行航班的情况。但是，如前所述，本文的研究方法和研究结果与他们的研究是不同的。

2模型建立

本文讨论的问题是航空公司在相对垄断市场下单航段的多个平行航班动态定价策略。航空公司在每个航班上均有多个价格等级，相应于不同航班的不同价格，需求可以发生自由的转移，且转移是没有任何附加成本。在这种市场情形下，公司需要综合考虑多个航班的定价策略，因为单独一个航班的收入优化并不能保证整个航线的收入是最大的。为了简化问题，本文只考虑两个平行航班的情况，事实上，可推广到多个平行航班的情形。假设两个平行航班的起飞时间分别为T1和T2，设0＜T1＜T2，0是开始售票时间，各自的飞机容量分别是M1和M2（当然，M1可以等于M2，因为通常两个平行航班都提供相同的机型，如上面的例子），不考虑超订的情况。n1（t）和n2（t）分别表示在t时刻，第一个航班和第二个航班的库存量，简单记为n1和n2。为了简化问题，假设两个航班都提供两种不同的价格等级，p1 ＞p2，以后研究可推广到多个价格等级。对应不同的价格等级，旅客需求服从非齐次泊松过程，对应的需求率分别用λ1ij（t）、λ2ij（t）表示，其中，λ1ij（t）表示在t时刻，第一个航班提供价格等级为pi和第二个航班提供的价格等级为pj时，第一个航班的需求率。类似地，λ2ij（t）表示在t时刻，第一个航班提供价格等级为pi和第二个航班提供的价格等级为pj时，第二个航班的需求率。设λ1i．（t）和λ2．j（t）分别表示该航线上只有第一个航班（提供价格等级为pi）或只有第二个航班（提供价格等级为pj）时各自的需求率。两个航班之间的需求会因价格控制策略而相互影响。旅客会根据公司提供的价格作出购买决策。如果他们的首选航班没有满意的价格，则会转移到另一个航班而不会自动升级。在垄断航线上，航空公司完全有能力通过调节价格控制产品的需求。问题是如何对上述存在需求转移情况的航班实施动态定价策略引导需求的走向，航空公司如何根据订票的情况和剩余销售时间综合制定该航线上两个航班的动态定价策略，实现总收入的最大化。这对实现有效的精细化管理、提高收入具有显著的意义。为了更好地描述问题，我们需要作如下假设：

假设1

两个航班的需求率满足：λ121（t）＞λ122（t）＞λ111（t）＞λ112（t）λ212（t）＞λ222（t）＞λ211（t）＞λ221（t） （1）

假设1说明采用价格策略对两个航班需求的影响。对每一航班来说，在自身采取低价p2时的需求大于采取高价p1时的需求，同时，在它的平行航班采取高价p1时的需求大于采取低价p2时的需求。

假设2

定义某航班的收入率为该航班的需求率乘以其价格。若p1 ＞p2，则某航班的收入率是其价格的递减函数，即：λ12j（t）p2 ＞λ11j（t）p1λ2i2（t）p2 ＞λ2i1（t）p1（2）假设2说明只有需求与价格满足以上关系，航空公司才有降价的动力，否则，低价永远也不会执行。这是收益管理领域的一个基本假设。

假设3

某个航班价格变化对自身收入率的影响比对另一个航班收入率的影响大，即：λ12j（t）p2－λ11j（t）p1 ≥λ21j（t）pj－λ22j（t）pjλ2i2（t）p2－λ2i1（t）p1 ≥λ1i1（t）pi－λ1i2（t）pi（3）假设3说明在两个航班共存的情况下，当公司改变某一个航班的价格时，其总收入率（两个航班收入率之和）应该增加，企业才有改变价格的动力。

3最优策略性质分析

为了得到最优策略，们将证明价值函数的一些性质。

性质1

价值函数V（t，n1，n2）关于t是连续、严格递减的。引理1说明，平行航班的价值函数关于时间t的性质与单个航班相同。该引理的实际意义表明机票产品的易逝性。

性质2

当两个航班同时服务时，第一个航班在T1左邻域内的最优价格为p2。证明：显然，由单个航班的性质可知，p2是第一个 航 班 单 独 服 务 时 在T1左 邻 域 内 的 最 优 价格［20］。下面将证明当两个航班同时服务时，它也是第一个航班在T1左邻域内的最优价格。显然，当tT1时，有V（t，n1，n2）V2（T1，n2）。设u2是第一个航班在T1左邻域内价格为p2，而第二个航班在T1左邻域内价格为pj时的控制策略，u1是第一个航班在T1左邻域内t时刻价格为p1，而第二个航班在T1左邻域内t时刻价格为pj时的控制策略。则对充分小的Δt和控制策略u1，有：Vu1（t，n1，n2）＝λ1j1（t）Δt（1－λ1j2（t）Δt）（p1＋V2（T1，n2））＋λ1j2（t）Δt（1－λ1j1（t）Δt）（pj＋V2（T1，n2－1））＋（1－λ1j1（t）Δt）（1－λ1j2（t）Δt）V2（T1，n2） （8）上式中，右边第一项表示在T1左邻域内充分小的Δt内以价格集合 ｛p1，pj｝只卖出一张第一个航班的机票的期望收入，同样地，第二项表示只卖出一张第二个航班的机票的期望收入，第三项表示没有卖出任何航班的机票的期望收入。同样地，对于控制策略u2也有类似的等式：Vu2（t，n1，n2）＝λ2j1（t）Δt（1－λ2j2（t）Δt）（p2＋V2（T1，n2））＋λ2j2（t）Δt（1－λ2j1（t）Δt）（pj＋V2（T1，n2－1））＋（1－λ2j1（t）Δt）（1－λ2j2（t）Δt）V2（T1，n2） （9）由（9）减（8），得：Vu2（t，n1，n2）－Vu1（t，n1，n2）＝（λ1j2（t）－λ2j2（t））Δt［V2（T1，n2）－V2（T1，n2－1）］＋［λ1j1（t）λ1j2（t）－λ2j1（t）λ2j2（t）］Δt2V2（T1，n2－1）＋［λ2j1（t）p2 ＋λ2j2（t）pj］Δt－（p2 ＋pj）λ2j1（t）λ2j2（t）Δt2－［λ1j1（t）p1 ＋λ1j2（t）pj］Δt ＋（p1 ＋pj）λ1j1（t）λ1j2（t）Δt2＝［λ1j2（t）－λ2j2（t）］Δt［V2（T1，n2）－V2（T1，n2－1）］＋［λ1j1（t）λ1j2（t）－λ2j1（t）λ2j2（t）］Δt2V2（T1，n2－1）＋｛［λ2j1（t）p2 － λ1j1（t）p1］－［λ1j2（t）pj－λ2j2（t）pj］｝Δt＋（p1＋pj）λ1j1（t）λ1j2（t）Δt2（10）因为Δt是充分小的正数，由假设2，有：λ12j（t）p2－λ11j（t）p1 ≥λ21j（t）pj－λ22j（t）pj以及V2（T1，n2）≥V2（T1，n2－1）［20］和λ21j（t）＞λ22j（t）（显然，当第一个航班为高价时，第二个航班的需求将增加），可以得到，（10）式第二个等式中右边第一项和第三项大于零，而其余各项是高阶无穷小，可得当Δt0时，上式右边大于零，即Vu2（t，n1，n2）＞Vu1（t，n1，n2） （11）所以，p2是T1左邻域内第一个航班的最优价格。证毕。但是，性质2对于第二个航班来说，不具有类似的性质。即设pj为第二个航班单独服务时在T1左邻域内的最优价格，则两个航班同时服务时，pj不一定是第二个航班在T1左邻域内的最优价格。证明方法与上面证明类似。性质2对于后面寻找两个航班的最优价格策略有重要作用。根据这一性质，我们可以求出V（t，n1，n2）在T1左邻域内的值。然后，应用逆推方法求出对于任意0≤t≤ T1，V（t，n1，n2）的值。性质3若 ｛pi，pj｝是t时刻，两个航班剩余票数为 （n1，n2）时的最优价格集合，定义边际价值函数为：类似地，可证明（13）式。证毕。

性质3

说明最优价格满足的必要条件，根据Hamilton－Jacobi等式，它也是充分条件。因此，利用性质3，我们可以得到最优价格策略满足的充要条件，由此也得出了最优控制的时间阀值点。

4模型求解方法

先求解n1＝n2＝1。根据性质2，在T1的左邻域内，最优价格集合为 ｛p2，pj｝，其中，pj为第二个航班 在 两 个 航 班 同 时 服 务 时 的 最 优 价 格。 而V（T1，1，1）＝ V2（T1，1），V1（T1，1）＝ 0，则 上 述Hamilton－Jacobi等式为：根据（20）和性质3的判断条件，我们可以求出所有的V（t，n1，n2）。

5数值实验和结果分析

在这一节我们提供一个算例。算例的条件可能会与实际有所偏差，只是用来提供一些例证。假设某航空公司在某一航线上有两个航班，两个航班的起飞时间分别为T1和T2，飞机容量分别为M1和M2，价格等级为p1和p2，令：T1＝1，T2＝2，M1＝ M2＝100，p1 ＝2（千元），p2 ＝1（千元）按照模型中的变量表示，需求率参数如下：λ111＝1，λ112＝0．8，λ121＝2．5，λ122＝2．2；λ211＝1．2，λ212＝3．2，λ221＝1，λ222＝3；λ11．＝1．2，λ12．＝3，λ2．1＝1．5，λ2．2＝4通过计 算，以 上 数 据 符 合 模 型 的 假 设 条 件。应用Matlab软件编程，可以得到模型的结果。两个航班的最优定价策略控制的时间阀值点如下表2，其中，表中 ｛pi，pj｝表示变换前的两个航班的最优价格，｛pi′，pj′｝表示变换后的两个航班的最优价格。管理人员可以通过这种时间阀值点来进行价格策略的控制。这对实现精细化管理有重要的实践意义。上面的表3和图2中，Ju（t，n1，n2）表示在两个航班共存时，各自的需求都不考虑其他航班对其的影响，即各自优化自己航班的期望收入，然后将两个航班的收入相加。由此，可以看出，应用本文的全局优化模型得到的总收入比两个平行航班独立决策时得到的总收入大。这说明该策略有利于提高公司的收入。

6结语

本文应用收益管理和随机动态控制方法解决了平行航班动态定价问题，建立了两个航班动态定价连续时间数学模型，并证明了最优策略的性质，通过数值实验比较了该模型与单个航班独立销售的优劣。试验计算结果表明，该方法可以显著提高经济效益。针对本文研究的问题，可以扩展到更复杂的情形：第一，由于本文只考虑了两个平行航班动态定价策略，而实际管理中，管理者不仅需要考虑两个航班的定价策略，同时，还要考虑航班的舱位控制策略，因此，可将本文的模型推广到多个平行航班的定价和舱位控制综合模型，研究管理的综合策略；第二，针对收益管理的超订策略，还可以考虑多个平行航班的超订问题；第三，本文的问题是在垄断市场下进行分析，而没有考虑竞争对手的影响。前面也提及，当前航空公司之间的竞争是相当激烈的，公司的每一步决策都要充分考虑竞争对手的情况及可能作出的反应。如北京到上海等热点航线，各航空公司对每天的各个时段、航班的各个舱位等级的决策都要充分考虑竞争对手的策略，稍有不慎就会被击败。因此，在收益管理中考虑竞争因素是很自然的。