简单递推数列通项公式的求法

已知某数列的递推公式求该数列的通项公式是数列的一个基本问题，但很多学生却感到较难掌握，解决这类问题的关键是将递推关系转化为等差或等比数列的递推关系来求解。本文为同学们介绍由递推数列求通项的技巧。

1.形如a-a=f（n）型

若f（n）为n的函数时，可用累加法求数列的通项a.

例1：已知数列{a}满足a=，且a=2，求数列的通项公式a.

解：由题意知，-=，又a=２，即=

=（-）+（-）+…+（-）+=++…++==1-

a=

2.形如=f（n）型

若f（n）为ｎ的函数时，可用累积法求数列的通项a.

例2：已知数列{a}满足a=，a=a，求a.

解：由条件知=，则

a=・・・・a=・・・・a=・a

又a=

a=

3.形如a=ca+d（c≠0，c≠1，d≠0）型

此种类型的递推公式，可采用待定系数法求通项。

例3：已知数列{a}满足：a=2a+3且a=1，求数列{a}的通项a.

解：由a=2a+3可化为a-t=2（a-t），即a=2a-t

t=3

故递推公式可化为a+3=2（a+3），即=2

此时数列{a+3}是以a+3=4为首项，2为公比的等比数列.

a+3=4×2，即a=2-3.

规律小结：将递推公式a=ca+d（c≠0，c≠1，d≠0）化为a+=c（a+），构造成公比为c的等比数列{a+}，从而求得通项公式。当然也可以把递推公式a=ca+d中的n换成n-1，得到a=ca+d，两式相减有a-a=c（a-a），从而化为公比为c的等比数列{a-a}，进而求得通项公式。

4.形如a=pa+f（n）（p≠0，p≠1）型

（1）若f（n）是关于n的一次式，可采用待定系数法求之。

例4：已知数列{a}满足：a=2a+n且a=1，求数列{a}的通项a.

解：由题意原式可化为：a+t（n+1）+r=2（a+tn+r）（t，r∈R），整理得：a=2a+tn+r-t，则t=r=1.

a+（n+1）+1=2（a+n+1），即数列{a+n+1}是以3为首项，2为公比的等比数列.

a+n+1=3・2，即a=3・2-n-1.

当然，此题还有以下解法：

解二：由题意知：a=2a+n+…①

a=2a+n-1+…（n≥2）②

由①-②得：a-a=2（a-a）+1，即a-a+1=2（a-a+1）

数列{a-a+1}是以3为首项，以2为公比的等比数列，即a-a+1=3・2，则a-a=3・2-1，故a=（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+a=（3・2-1）+（3・2-1）+…+（3・2-1）+1=3・（2+2+…+2）-（n-1）+1=3×-n+2=3・2-n-1，即a=3・2-n-1.

（2）若f（n）是关于n的指数式，可将等式两边同除这个指数式，把递推式转化为a=ca+d（c≠0，c≠1，d≠0）型来求解。

例5：已知数列{a}满足：a=2a+3，a=6，求通项公式a.

解：将递推式两边同除以3可得：=+=・+，

（-1）=（-1），即数列{-1}是以-1=1为首项，为公比的等比数列.

-1=（），即a=3・2+3.

5.形如a=型

此类型可采用取倒数法。

例6：已知数列{a}满足：a=且a=1，求数列的通项公式a.

解：由题意知a≠0，把递推式取倒数可得：==2・+3（转化为类型3），

（+3）=2（+3），即数列{+3}是以+3=4为首项，2为公比的等比数列.

+3=2，即a=.

6.形如a=pa+qa（其中p，q为常数）型

此类型可先把递推公式转化为a-sa=t（a-sa），其中s，t满足s+t=pst=q，再运用前面类型一的方法求解。

例7：已知数列{a}中，a=1，a=2，a=a+a，求a.

解：把a=a+a化为：a-sa=t（a-sa），即a=（s+t）a-sta，

s+t=st=-，解得s=1t=-或s=-t=1，这里不妨选用s=1t=-（当然也可选用第二组，不过最后结果一样），则a-a=-（a-a），故数列{a-a}是以a-a=1为首项，-为公比的等比数列.

a-a=（-）

a=（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+a=（-）+（-）+…+（-）+1=+1=-（-）.

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