例析动态几何问题的思考

数学因为运动才充满了“活力”.动态问题是中考中的热点问题，这类问题涉及的知识面广，信息量大，综合性强，在解决这类问题的时候我们要用运动和变化的眼光去审视问题，需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.

一、点的运动

例1 如图1，矩形ABCD中，AB=6 cm，AD=3 cm，点E在边DC上，且DE=4 cm.动点P从点A开始沿着ABCE的路线以2 cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1 cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动.若点P、Q同时从点A出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2）.

（1）求S与t的函数关系式；

（2）当S=10时，求t的值.

解析：（1）在RtADE中，AE=

AD2+DE2=

32+42=5.

当0< t ≤3时，如图1.

过点Q作QFAB于F，连接QP.

因为AB∥CD，所以∠QAF=∠AED.

又因为∠AFQ=∠D=90°，

所以QAF∽AED.

所以QFAD=AQAE，所以QF=

AD·AQAE=35t，

所以S=12AP·QF=

12×2t× t=35t2.

当3

时，如图2.

过点Q作QFAB于F，QGBC于G，连接QB.

同理可得QF=

35t，AF=45t.

所以QG=BF=6-AF=6-45t.

所以S=SQAB+ SQBP

=12AB·QF+12BP·QG

=12×6× t+12（2t-6）（6-45t）

=-45t22+

51tt-18.

当92< t ≤5时.

过点Q作QFCD于F，如图3.

由题意得QF∥AD，所以FQE∽DAE.

所以QFAD=

QEAE，所以QF=

AD·QEAE=

35（5-t）.

所以S=S梯形ABCE-SEQP

=12（EC+AB）·BC-12EP·QF

=12（2+6）×3-

12（11-2t）×

35（5-t）

=-35 t2+

6310t-

92.

（2）当t=3时，S=35t2=

35×32=285.

当t=92时，S=-

45t2+515t-18=-

45×（92）2+

515×

92 -18=

11710.

因为275

11710，所以3

92.

所以S=-

45t2+

515t-18，即-

45t2+

515t-18=10.

整理得：4t2-51t+140=0，解得t1=4，t2=

354>

92（舍去）.

所以当S=10时，t=4.

解决这类问题就要把各个时刻的图形分别画出来，当动点所形成的几何图形的形状和大小发生改变的时候，相应时间的分界点是确定的，所以先要找到图形变化的时间分界点，再根据不同的时间段画出不同的图形，化动为静.

二、线段的运动

例2 已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与ABC的其他边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒.

（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；

解析：（1）如图4，过点C作CDAB于D，则AD=2.

当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，

即AM=32时，四边形MNQP是矩形，

所以t=32秒时，四边形MNQP是矩形.

因为PM=AM·tan60°=323，

所以S四边形MNQP=

323.

动态几何类问题是用运动的观点来探究几何图形变化规律的一类问题，解决这类问题要寻求运动中的特殊位置，在动中求静，在变化中求不变的一般规律.在平时教学中要渗透一般与特殊、分类讨论、数形结合、函数方程等数学思想方法，从而在解决问题过程中能够分清情况，分类讨论解决问题.