分类讨论思想与解题应用

摘 要： 分类讨论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用.分类可以使大量繁杂的材料条理化、系统化.掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大帮助，既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度.本文阐述了分类讨论思想的概念，重点就引起分类讨论的原因进行分析，并就分类讨论在解题中的应用加以讨论.

关键词： 中学数学教学 分类讨论 原因探究 解题应用

“物以类聚，人以群分”，分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，它又叫做逻辑划分.不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想.在数学中，分类是基本逻辑方法之一，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想；将数学对象进行分类后，对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法.

分类讨论贯穿在整个中学数学学习的全过程，分类可以使大量繁杂的材料条理化、系统化，从而为学生进行分门别类的深入研究创造条件，分类讨论不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着重要作用.掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大帮助，既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度.

分类讨论首先要解决好三个问题：①分类对象的确定性，明确要对什么进行分类，这是分类的前提；②分类标准的同一性，按什么标准进行分类，这是分类的关键；③分类过程的逐级性，分成几类讨论，这是分类的终结.这三点对整个问题来说，仅仅是起步，还要对分类的结果进行逐类讨论，有些问题还要在前一次分类的基础上再进行分类.

分类讨论应当遵循三个原则：同标准、无遗漏、不重复.用分类讨论的思想方法解决问题至少有两个好处：一是把大问题分成小问题时，能够达到简单化的目的；二是分类标准本身就是增设了一个已知条件，为问题的解决提供了思路.科学分类的步骤是：明确对象的全体―确定分类标准―科学分类―逐类讨论―归纳小结―得出结论.

然而，中学数学教学中的分类讨论问题往往是学生不容易掌握好的一类问题，学生碰到此类问题时常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成得分率偏低，很重要的原因是没有掌握好中学数学中的分类讨论思想.分类讨论思想既然不是很容易掌握，那么这类问题有没有共性，解决此类问题是不是有什么切实可行的方法呢？

我们一起来分析这类问题的动因和类型，并看看它们在实际解题中的应用.

在中学数学教学中，涉及分类讨论思想的问题很多，题目也比较繁杂，主要有以下四种类型.

一、由于问题涉及分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论

在中学数学中，有很多的数学概念本身就是分类定义的，例如绝对值的定义，一元二次方程根的判别式与实根数的情况，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，等等.在求解这些问题时，要注意借助于概念的分类标准对问题进行分析，分类讨论.

例1.化简|a-2|-|3-a|.

分析：本题要求对已知的代数式进行化简，但是题目中含有两个绝对值，而绝对值|a|的定义中规定：|a|=a（a＞0），|a|=0（a=0），|a|=-a（a＜0），所以要对其进行分类讨论.

解：当a＜2时，（2-a）-（3-a）=-1；当2≤a＜3时，（a-2）-（3-a）=2a-5；当a≥3时，（a-2）-（a-3）=1.

二、由于问题的题设或结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论

有些数学问题，在题设条件下，其结论可能有几种情形，因此要对每种情况进行分析讨论，再求解，否则就有可能漏解.

例2.（2004年上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 .

分析：本题的题设中出现了直角三角形的两边长是6和8，考生容易定向思维地认为这两条边是直角边，所以要注意题设中的是“两条边长”.

解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，这个三角形的外接圆半径等于×10=5；②当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，这个三角形的外接圆半径等于×8=4.

例3.求函数y=（k-1）x+kx+1与x轴的交点坐标.

分析：本题的条件是不唯一的，该函数是什么函数？问题中没有说明.有几种可能情况呢？两种：一次函数或二次函数.所以要分为两类：（1）当此函数为一次函数时，k=1，求得与x轴的交点为（-1，0）。（2）当此函数为二次函数时，k≠1，=（k-2），①＞0，即k≠2时，有两个交点（-1，0）、（，0）；②=0，即k=2时，有一个交点（-1，0）；③＜0，即（k-2）＜0，不存在k的取值.综合以上分类，得出本题的正确答案为：当k=1时，与x轴交点为（-1，0）；当k≠1且k≠2时，与x轴交点为（-1、0）、（，0）；当k=2时，与x轴交点为（-1，0）.

解此类问题的关键是审清题意，审题是解题的重要一环，考生解此类问题的错误往往是由于审题不细心，没有弄清已知条件或未知结论中的不定因素而急于解题所造成的.只有审清了题意，全面、系统地考虑问题，把握住了问题中的不定因素和不定因素的各种可能情况，才可以确定分类的框架，分类时也才能做到标准一致，条理清楚，解答此类问题才不易造成重复或漏解.

三、由于问题中的参变量不同取值得出不同结果而需要对其进行分类讨论

在中学数学中，经常会遇到含有参变量的问题，解决这类问题，要注意参变量的不同会导致不同的结论.

例4.已知关于x的方程-=，求m为何值时，方程有两个不相等的实数根.

解：去分母，得（x-1）-（x+1）=m，整理得x-3x-m=0①，

判别式=（-3）-4（-m）=9+4m，令9+4m＞0，得m＞-，

当m＞-时，＞0方程①有两个不相等的实数根.

若原方程有增根x=1时，由①得m=-2；

若原方程有增根x=-1时，由①得m=4.

当m=-2，m=4时，原方程有只有一个实数根；当m＞-且m≠-2，m≠4时，原方程有两个不相等的实数根.

本类分类讨论问题就是要做到能分析清楚问题中参变量在整个量变过程中会造成哪些质的变化，即参变量的不同取值会对问题产生的哪些不同结果，把它们一一罗列出来，全面、系统地分类，并能正确求解.

四、由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论

在中学数学的几何部分，经常会遇到一些问题，题目本身没有给出图形，解决此类问题要注意可能隐藏着不同的情况.

例5.（2005年北京市中考题）在ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且ABD∽CAD，则∠BCA的度数为.

图1图2

分析：这是一道非常容易出错的题目，题目的结论实际隐藏着两种图形，很多考生由于看惯了图1所示的图形而漏解.一些难度并不很大的题目频频失分，很多时候就是由于缺乏分类思想.

解：如图1，由题意可知，ABD∽CAD，则∠B=∠CAD=25°，在RtCAD中，∠BCA=90°-25°=65°；

如图2，当ABC是钝角三角形时，同理可知∠BCA=90°+25°=115°.

例6.（2006年金华市中考题）如图3，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CDx轴于点D.

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（1）求直线AB的解析式；

（2）若S=，求点C的坐标；

（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与OBA相似.若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图3

分析：本题前两小题相对容易，而第三小题问是否存在点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与OBA相似，并没有给出对应点，因此几何图形不确定，需要讨论，而且讨论较为复杂.

解：（1）直线AB解析式为：y=-x+；

（2）C（2，）；

（3）当∠OBP=90°时，如图4：

①若BOP∽OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，BP=，OB=3，

P（3，）.

图4

②若BPO∽OBA，则∠BOP=∠BAO=30°，BP=1，OB=，

P（1，）.

当∠OPB=90°时，如图5：

③过点P作OPBA于点P（如图5），此时PBO∽OBA，∠BOP=∠BAO=30°，过点P作PMOA于点M.

在RtPBO中，BP=OB=，OP=BP=.

在RtPMO中，∠OPM=30°，

OM=OP=；PM=OM=.

P（，）.

④若POB∽OBA（如图6），则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°.

PM=，OM=.

P（，）（由对称性也可得到点P的坐标）.

图6

当∠OPB=90°时，点P在ｘ轴上，不符合要求.

综合上述分类，符合条件的点有四个，分别是：

P（3，），P（1，），P（，），P（，）.

正确解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类出各种符合条件的图形，画图能力和空间想象能力也是数学学习中的重要能力，是正确解答此类分类讨论问题所需要的能力.

中学数学中的分类讨论问题主要是以上四种动因的分类讨论.抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，就能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题的准确率.

数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响.根据中学生的特点，我们在教学中要遵循循序渐进、逐步深入的原则并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学.

参考文献：

［1］刁卫东.如何运用分类讨论思想解题.中学数学，1997.5.

［2］王燕春.学会分类方法，提高分类意识.中学生数学，1998.5.

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