高考命题新“动”向

“变”与“动”历来是高考命题的着眼点. 以“动”为例,“点在曲线(直线)上运动”“曲线(直线)向某个方向移动”“直线绕定点转动”等都是“动”的情境;考试中经常出现的“求某动点的轨迹方程”“证明某动直线经过某个定点”等问题,都是“动”在具体题目中的体现. 笔者遍览了2010年全国各地的高考数学卷,发现除了上面这些“动”的问题之外,高考命题又出现了新的“动”向,值得大家关注,以下试举一例.

例(2010年高考数学北京卷(文)第14题)已知如图1放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f(x),则f(x)的最小正周期是;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为.

说明: “正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向的滚动. 沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续;类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.

解析: “滚动”是一种非常新鲜的“动”法,此前同学们可能很少接触到类似的题型,故题目对“滚动”一词作了特别说明.

按照说明我们可以知道,题中的“滚动”不是绕某定点或某定直线的“转动”, 而是整个正方形以它在x轴上的某个顶点为“支点”,逆时针或者顺时针地连续“旋转”. 由此可见,滚动的“支点”依次为A,B,C,P,A,B,C,P,…(沿x轴负方向滚动时为P,C,B,A,P,C,B,A,…),呈现周期性变化. 由于是填空题,我们不必“硬求”出P点纵坐标与横坐标的函数表达式(有兴趣的同学可通过以下解答自行归纳),而可以从前几次滚动过程入手来探索、归纳规律.

先研究滚动过程中正方形四个顶点的坐标变化情况.由题意可知,正方形四个顶点的初始坐标分别为:P0(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1).

考虑正方形沿x轴正方向的滚动,若把整个正方形绕一个“支点”旋转一次视为一次滚动,则:

滚动1次后,得到P1(1,1),A(1,0),B(2,0),C(2,1);

滚动2次后,得到P2(3,1),A(2,1),B(2,0),C(3,0);

滚动3次后,得到P3(4,0),A(4,1),B(3,1),C(3,0);

滚动4次后,得到P4(4,0),A(5,0),B(5,1),C(4,1);

……

滚动4n+1(n∈N)次后,得到P4n+1(4n+1,1),A(4n+1,0),B(4n+2,0),C(4n+2,1);

滚动4n+2(n∈N)次后,得到P4n+2(4n+3,1),A(4n+2,1),B(4n+2,0),C(4n+3,0);

滚动4n+3(n∈N)次后,得到P4n+3(4n+4,0),A(4n+4,1),B(4n+3,1),C(4n+3,0);

滚动4n+4(n∈N)次后,得到P4n(4n+4,0),A(4n+5,0),B(4n+5,1),C(4n+4,1).

可见在滚动过程中,正方形四个顶点的纵坐标呈现以4为周期变化的特点. 同理可知正方形沿x轴负方向的滚动过程中,四个顶点的纵坐标变化同样具有此特点. 因此不论正方形沿哪个方向滚动,P点的纵坐标都以4为周期变化,故f(x)的最小正周期为4.

再来归纳y=f(x)的图象性质. 由上述讨论可知,P的轨迹,也即f(x)的图象应为一个连续的周期性图形. 以前4次滚动为例来考虑一个周期中P的轨迹:第1次,正方形绕点A滚动,滚动后点B落在x轴上,P点的轨迹是以A为圆心、1为半径的四分之一圆周(图2中的);第2次,正方形绕点B滚动,滚动后点C落在x 轴上,P点的轨迹是以B为圆心、为半径的四分之一圆周(图2中的);第3次,正方形绕点C滚动,滚动后点P落在x轴上,P点的轨迹是以C为圆心、1为半径的四分之一圆周(图2中的);第4次,正方形绕点P滚动,滚动后点A又回到x轴上,P点在原位置不动,故函数y=f(x)一个周期的图象如图2中的粗实线所示,其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域(如图2阴影部分所示)的面积为:2•+•π•()2+2•=π+1.

评注: 以上解析抓住了填空题的特点,并不求出函数解析式,而侧重从滚动过程入手分析探索规律,求得答案. 其实,我们还可从正方形沿x轴正方向及负方向连续滚动(各4次以上)的过程中,描绘出P点的轨迹,进而直接确定答案.

这道题对“动”的设计非常有新意,跳出“转动”“移动”等常规情境,以沿轴“滚动”的正方形的一个顶点的运动轨迹为着眼点,考查了函数的周期性、函数零点以及平面图形的面积等问题,视角独特,设计新颖,对同学们的直觉思维和空间想象能力提出了较高的要求,不失为一道优秀的试题.