忽视不得的“根”

函数与方程中的许多问题都可以归结为一元二次方程根的分布问题,而不少同学对这一块内容的认识比较模糊,因此解题中容易出现各种错误.

错因一:忽视转化的等价性

例1已知方程2x2-2(m-1)x+m+3=0的两实根均大于1,求实数m的取值范围.

错解: 设方程的两根为x1,x2,且x1>1,x2>1,则由题意有Δ≥0,x1+x2>2,x1x2>1;即4(m-1)2-8(m+3)≥0,m-1>2,>1.解得m≥5.

剖析: 错解对x1>1,x2>1这一条件进行了非等价转化,Δ≥0,x1+x2>2,x1x2>1只是x1>1,x2>1的必要而非充分条件. 事实上,x1>1,x2>1应等价于Δ≥0,(x1-1)(x2-1)>0,(x1-1)+(x2-1)>0.

正解1: 由x1>1,x2>1可知Δ≥0,(x1-1)(x2-1)>0,(x1-1)+(x2-1)>0;即Δ≥0,x1x2-(x1+x2)+1>0,x1+x2-2>0.由韦达定理得4(m-1)2-8(m+3)≥0,-(m-1)+1>0,m-1>2.解得5≤m

正解2: 设f(x)=2x2-2(m-1)x+m+3,由二次函数的图象及已知条件可得f(1)>0,>1,Δ≥0;即2-2(m-1)+m+3>0,>1,4(m-1)2-8(m+3)≥0.解得5≤m

评注: 解决一元二次方程根的分布问题通常有两种策略:一是利用韦达定理;二是利用二次函数的图象,考虑判别式、对称轴位置、区间端点函数值的符号等.不管用哪种策略,都要注意转化的等价性.

错因二:忽视区间端点

例2已知函数f(x)=x3+2x2-ax+1在区间(-1,1)上恰有一个极值点,求实数a的取值范围.

错解: f′(x)=3x2+4x-a. f(x)在(-1,1)上恰有一个极值点, f′(x)=0恰有一根在(-1,1)内, Δ>0(若Δ=0,则f′(x)≥0,f(x)无极值点),且f′(-1)•f′(1)

剖析: 错解将方程f′(x)=0在区间(-1,1)上恰有一个实根等价于f′(-1)•f′(1)

正解: f′(x)=3x2+4x-a. 由题意可知,方程f′(x)=0在区间(-1,1)上恰有一个实根可以分为以下三种情况:

① x1∈(-1,1),x2∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则f′(-1)•f′(1)

② x1=1,则a=7, f′(x)=3x2+4x-7, f′(x)=0在(-1,1)上无解;

③ x1=-1,则a=-1,f′(x)=3x2+4x+1. 令f′(x)=0,易知x2=-∈(-1,1).

综上可知,-1≤a

评注: 在特定的区间上考虑一元二次方程根的分布问题,要特别关注区间端点的函数值,不能忽视端点即为零点的特殊情况.

错因三:忽视隐含条件

例3已知方程ax2+bx-1=0(a,b∈R,且a>0)有两个实数根,且其中一根在区间(1,2)内,则a-b的取值范围为

(A) (-1,+∞) (B) (-∞,-1) (C) (-∞,1) (D) (-1,1)

错解: 可分成两种情况讨论:

① 方程在(1,2)上有两个相等的根,则Δ=0,-∈(1,2)…

② 方程有两个不等实根,其中一根在(1,2)上,则f(1)•f(2)

剖析: 因为题中含两个变量a,b,所以上述解法比较烦琐,有毅力的同学可能可以得出正确结果,但很多同学往往会中途出错或者放弃. 解题时若注意到题目的隐含条件 f(0)=-1

正解: 令f(x)=ax2+bx-1, f(0)=-10,f(1)0;即a>0,a+b-10.利用线性规划可知a-b>-1,答案为A.

评注: 充分利用所给一元二次方程对应的二次函数图象,抓住对称轴或某些特殊点函数值的特征,往往能使解题避繁就简.

错因四:忽视二次项系数的符号

例4已知f(x)=loga(x+1),若函数F(x)=af(x)+tx2-2t+1在(-1,2]上有两个零点,求实数t的取值范围.

错解: 由题意可知,F(x)=tx2+x-2t+2,显然t≠0. F(x)在(-1,2]上有两个零点, F(-1)>0,F(2)≥0,-10,2t+4≥0,-1

剖析: 错解的解法仅适用于二次项系数t>0的情况,考虑不够全面,且最后解得的结果也与t>0相矛盾.

正解: F(x)=tx2+x-2t+2,显然t≠0.

(1) 当t>0时,可知

(2) 当t

综上可得,实数t的取值范围为

评注: 运用一元二次方程根的分布解题,首先要考虑二次项系数是否为零;在不为零的前提下,还需考虑其符号,这两步缺一不可.