特殊解法在数学选择题中的应用

【摘要】选择题是数学考试中的常见题型。想要快速准确地解答出选择题有时就需要采取特殊解法。本文针对数学选择题殊的解法进行了介绍及讨论。

【关键词】选择题；特殊解法；中学数学

选择题是数学考试中的常见题型。对于选择题的解答，可以和其他题目一样，采用常规的解题步骤，一步一步计算得出结果，再进行选择；也可以根据选择题自身的特点，采取特殊的解法，来解答选择题。下面就以例题说明一些常用的特殊解法。

例1：（2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学-陕西卷）

8.设函数f（x）=2x+1（x∈R）的反函数为f-1（x），则函数y=f-1（x）的图像是（ ）

分析：欲求函数y=f-1（x）的图像，常规的解法是先画出f（x）=2x+1（x∈R）的图像，然后再通过直线y=x进行映射。但如对函数图形不够熟悉，采用实际作图会耗费较多时间，因此可以对照备选答案中已有的图形采用估算的方法，函数f（x）=2x+1（x∈R）的值域为（1，+∞），因此y=f-1（x）的定义域为（1，+∞），所以可直接判定答案为A。对于这道题，如何确定函数f（x）的特点就是问题的主体，而其值域为（1，+∞）就是其非常突出的特点。在这种情况下针对问题的主题，对备选答案进行分析，就可以使题目的解答过程得到的极大的化简，也减少了出错的可能。

例2：（2002年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）

12.据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十・五”期间（2001年――2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十・五”末我国国内年生产总值约为（ ）

A.115000亿元 B.120000亿元 C.127000亿元 D.135000亿元

分析：这道题的答案明确，即计算95933×（1+7.3%）4，由于考试中不能使用计算器，如采用直接计算的计算量很大，常规的解法为采用二项式定理对其进行展开后再做计算。但即便如此，由于95933数字较为复杂，且（1+7.3%）4二项式展开全项也很复杂，因此采取估算法是非常有必要的。计算过程可以通过估算的简化为96000×（1+0.073×4+…）近似于96000×1.29，结果约为124000，考虑到二项式略去的部分为几项近似计算中影响最大的部分，所以估算结果应略小于标准答案，所以答案为C。上述估算过程只是较为初步的估算，如果对估算法较为熟悉，还可以进行进一步估算，从而化简计算过程。对于这种题目，为了节约时间，采用估算法是非常有必要的。

例3：（2006年普通高等学校招生全国统一考试数学-陕西卷）

12.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）. 已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d. 例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16. 当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）

（A）7，6，1，4 （B）6，4，1，7

（C）4，6，1，7 （D）1，6，4，7

分析：对于这道题目，较为常规的解法为列出方程组，通过解方程组得到答案。如果针对题目进行基本分析，可以发现直接使用备选答案逆推更为简单，只需要通过a、b的值即可进行排除，经过简单计算得到答案为B。

例4：（2000年普通高等学校招生全国统一考试）

11.过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，线段PF与FQ的长分别为p、q，则+等于（ ）

（A）2a （B） （C）4a （D）

分析：如图所示，P、Q均为曲线上变动的点。如果采用常规的计算方法较为繁琐，可能会将一道简单的选择题做成一道复杂的证明计算题。针对题设进行考虑，当PQOF也是满足题设条件，且有|PF|=|FQ|=，所以+=2a+2a=4a，故选（C）。对于这类根据题设可以求得多组甚至无穷多组解，然后求的这些解的共通的某种性质的选择题，我们只需要找出其中最为利于计算的特例，然后计算该特例，根据该特例计算的结果就可以进行选择。

例5：（1997年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）

13.定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图像与f（x）的图像重合。设a>b>0，给出下列不等式：

①f（b）-f（-a）>g（a）-g（-b） ②f（b）-f（-a）

③f（a）-f（-b）>g（b）-g（-a） ④f（a）-f（-b）

其中成立的是（ ）

（A）①与④ （B）②与③ （C）①与③ （D）②与④

分析：本题与例四可以采用类似的特殊解法，即使用特殊解替代求取通解，来分析备选答案。对于定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数，很显然f（x）=x是满足要求的。对于偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图像与f（x）的图像重合，可以知道g（x）=|x|。a、b选取特殊值2和1代入，可知C选项正确。

选择题的特殊解法并不局限于上述几种，但共通之处是抓住问题的主体，忽略不影响答案的枝节，并利用备选答案来进行分析解答。

选择题的在考试中所占的分值和特点决定了在解答选择题时除了需要正确之外还需要快速，而特殊解法为正是提供了一种快速而又准确的解答选择题的方法。