浅析不定积分的积分方法

摘 要： 在高职高专院校高等数学的不定积分章节的学习中，有三种积分方法，分别是第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法.部分学生在积分运算中，对积分方法的选择不知如何着手.针对这种现象，本文对三种积分方法加以总结，以便学生对积分方法能更好地掌握.

关键词： 不定积分 换元积分法 分部积分法

一、第一类换元积分法

定理1（第一类换元积分法）设f（u）具有原函数，u=φ（x）可导，则有换元积分公式

f［φ（x）］φ′（x）dx=［f（u）du］.

第一类换元积分公式实质上就是：f［φ（x）］φ′（x）dx=f［φ（x）］d［φ（x）］.

第一类换元积分公式在运用过程中，应用的关键是确定新的积分变量φ（x），那么如何确定φ（x）？方法有如下两种.

1.通过对所求不定积分中被积函数的观察，发现函数中既含有φ（x）又含有φ′（x），则我们就可以猜测出新的积分变量为φ（x）.

例如：求dx

分析：所求不定积分的被积函数为，因为（lnx）′=，所以我们可以把看做lnx，则新的积分变量φ（x）=lnx.

解：dx=［lnx］dx=lnxd［lnx］=lnx+C

2.通过对所求不定积分的观察，猜测出所要运用的基本积分公式，基于这个公式确定新的积分变量φ（x）.

例如：求sin3xdx

分析：所求不定积分为sin3xdx，观察后发现我们所用的基本积分公式为sinxdx=-cosx+C，但是所求积分的被积函数不是sinx而是sin3x，我们可以把3x看做一个整体，就是新的积分变量φ（x），即φ（x）=3x.

解：sin3xdx=［sin3x］3dx=［sin3x］d［3x］=［sin3x］d［3x］=-cos3x+C

二、第二类换元积分法

定理2（第二类换元积分法）设函数x=φ（t）单调，可导，且φ′（t）≠0，f［φ（t）］φ′（t）的原函数存在，则有换元积分公式

f（x）dx=［f［φ（t）］φ′（t）dt］，

其中t=ψ（x）是x=φ（t）的反函数.

第二类换元积分公式在何时运用？我认为：重点是解决被积函数中含有“根号”的积分问题.那么在学习中遇到的常见的含有根号的情形有几种呢？我总结了一下共有四种，分别是：；；；.

如何消除被积表达式中的根号？做适当变量替换即可，针对以上四种情形具体替换如下：

① 对，设t=；

② 对，设x=asint；

③ 对，设x=atant;

④ 对，设x=asect.

原来关于x的不定积分转化为关于t的不定积分，在求得关于t的不定积分后，必须代回原变量.在进行三角函数换元时，可由三角函数边与角的关系，作三角形，以便于回代.在使用第二类换元法的同时，应注意根据需要，随时与被积函数的恒等变形、不定积分性质、第一类换元法等结合使用.

例如：求dx

分析：所求不定积分的被积函数中含有根号，符合上述情形中的第三种，由此我们做替换x=2tant即可.

解：dx=•2sectdt=sectdt=ln（sect+tant）+C=ln++C=ln（+x）+C

三、分部积分法

分部积分公式：udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx（其中u=u（x）与v=v（x）都具有连续导数）

分部积分法主要是解决被积函数是两类不同类型函数乘积的不定积分问题.这里我们所说的函数类型指的是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数五种基本初等函数.当然在具体应用时被积函数未必是这五种类型，有可能是相似的类型，我们在应用公式前，只需要将所求的不定积分运用其他的积分方法适当变形转化为这五种函数即可.

应用分部积分公式的关键是确定公式中的u和v′，如何确定它们？可按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序（即“反、对、幂、三、指”的顺序），把排在前面的那类函数选作u，而把排在后面的那类函数选作v′.

例如：求xsinxdx

分析：不定积分中的被积函数xsinx为两类不同类型的函数乘积，所以我们就要应用分部积分法，其中u为x，v′为sinx，则u′=1，v=-cosx把上述四项代入公式即可.

解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C

小结：我们学习以上三种积分方法的目的就是要把我们所计算的不定积分问题转化为我们所熟悉的基本积分公式来处理，当然，这些积分方法在运用时往往不是单独使用，大多数情形下都是混合使用，甚至要多次使用.

参考文献：

［1］同济大学，天津大学，浙江大学，重庆大学编.高等数学.高等教育出版社，2004.6，第2版.

［2］周金玉.高等数学.北京理工大学出版社，2009.8，第1版.

［3］陈传樟等.数学分析.高等教育出版社，1983.7，第2版.