浅析轮换对称性在积分计算中的应用

【摘要】本文从简化计算的技巧出发，探索了轮换对称性在积分计算中的应用，通过分析二者在不同积分区域的二重、三重积分以及曲线积分中的可行性和使用方法，从而总结出常见的使用轮换对称性计算积分的情况，以简化计算.

【关键词】轮换对称性；简化计算；积分；被积函数；积分区域

【中图分类号】O172【文献识别码】A

【基金项目】2015年北京航空航天大学“凡舟”奖教金项目、北航重大教改项目（面向对象的数学公共课实践）资助.

一、引言

在定积分的计算中，我们常利用积分区间的对称性，结合被积函数的奇偶性，可以极大地简化计算的过程.那么，在重积分的计算中，类似地，我们可以利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性使计算更为简便.相应地，我们还可以发现，在曲线积分中也有这样的结果.

在解决实际问题的过程中，我们不难发现，积分区域的高度对称性实际上表明了变量x、y、z之间的某种可相互替代性，这便是轮换性.一般来说，先使用轮换性简化被积函数或使其形式易于化简，之后再利用对称性来解决问题，可以极大地减小我们在解决问题中的工作量.

本文将从不同类型的重积分区域和曲线积分入手去探讨轮换对称性在积分计算中的应用.同时探究被积函数的形式为变量平方的和与变量和的平方时在相同积分区域中结果的异同.

二、问题讨论

轮换对称性的应用场景十分广泛.本文针对实际解决问题的需要，选用了较为常见的五种情况，分别是积分区域为圆、积分区域为椭圆、一般积分区域、对称性较为欠缺与对称曲线积分，结合典型例题进行对比讨论.每种情况中也会对被积函数的不同形式（主要是变量平方的和与变量和的平方）进行对比.

本文中坐标的等价指的是在积分运算中，x、y、z坐标可以彼此相互替换，而不影响运算的结果.

（一）积分区域为圆

圆形积分区域具有高度的对称性，在此区域内，坐标x、y彼此等价，因此也可利用轮换性来简化计算.

例1.1计算D（x2+y2）dxdy，其中D为圆x2+y2≤R2.

分析根据圆的对称性，x，y两个坐标彼此等价，因而可以利用轮换性求解.但本题中被积函数为x2+y2，显然采用极坐标变换求解更为容易.本例说明了圆形积分区域简化计算的一种思路，但并非最简解法.

例1.2计算D（x+y）2dxdy，其中D为圆x2+y2≤R2.

分析（x+y）2=x2+y2+2xy，对于x而言，2xy在圆形区域中是一个奇函数，因此该部分积分值为0.所以本例的积分结果与上例中相同.

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

（二）积分区域为椭圆

椭圆积分区域仍具有高度的对称性，但相比圆形积分区域，两个坐标失去了等价性，因此不能够利用轮换性来简化计算.

例2.1计算D（x2+y2）dxdy，其中D为椭圆x2a2+y2b2≤1.

分析由于椭圆具有对称性，因此可以利用对称性来简化计算.但本题中被积函数为x2+y2，显然采用广义极坐标变换求解更为容易.本例说明了圆形积分区域简化计算的一种思路，但并非最简解法.

例2.2计算D（x+y）2dxdy，其中D为椭圆x2a2+y2b2≤1.

分析（x+y）2=x2+y2+2xy，对于x而言，2xy在椭圆区域中是一个奇函数，因此该部分积分值为0 所以本例的积分结果与上例中相同.

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

（三）一般e分区域

对于一般积分区域，显然不一定具有对称性，同时坐标的等价性也不一定存在，因此轮换对称性不可使用. 这里我们重点探讨在一般区域中上述两种情况里面的等式是否成立.

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

例3.1计算D（x2+y2）dxdy，其中D为矩形x∈[a，b]，y∈[c，d].

分析由于积分区域并无对称性，因而采用常规方法计算.

解原式=∫badx∫dc（x2+y2）dy

=∫ba（d-c）x2+13（d3-c3）dx

=13（d-c）（b-a）（a2+b2+c2+d2+ab+cd）.

例3.2计算D（x+y）2dxdy，其中D为矩形x∈[ a，b]，y∈[c，d].

分析 由于积分区域并无对称性，因而采用常规方法计算.

解 原式=∫badx∫dc（x+y）2dy

=∫ba（d-c）x2+（d2-c2）x+13（d3-c3）dx

=（d-c）（b-a）

13（a2+b2+c2+d2+ab+cd）+12（a+b）（c+d）.

可见，上述等式不成立.

D（x2+y2）dxdy≠D（x+y）2dxdy.

（四）积分区域对称性不足

考虑积分区域为一个半球时，并设这个半球恰巧是以原点为球心的球在xOy平面之上的部分. 那么积分区域关于x轴和y轴是对称的，而关于z轴不是对称的.

那么在这种情况下如何应用轮换对称性来简化计算重积分呢？我们通过两个例子来对比说明.

例4.1计算V（x2+y2+z2）dxdydz ，其中V为半球x2+y2+z2≤R2（z≥0）.

分析 由于积分区域是上半球，x、y、z三者的等价性没有了，但是x、y两者依然是等价的，但是对x、y两坐标使用轮换性并不是解决问题的最佳思路，因此我们利用图形的特殊性而采用“先二后一”法.

延伸拓展：通过上面的分析，我们发现，若区域关于某一变量对称，且变量在被积函数表达式中具有奇偶性，那么不论与之相乘的另一变量在这一区域上是否对称，积分结果（或者说被积函数可否化简）仅与在该区域上对称的变量有关，而与另一变量无关.

对于对称曲线积分，上述结论仍然成立.

三、结论

（一）对于重积分而言

①积分区域为圆（球）时，区域有对称性、坐标彼此等价.计算积分时，先利用轮换性减少被积函数中自变量的个数，再利用积分区域对称性结合函数的奇偶性简化计算.在这种情况下：

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

②积分区域为椭圆（椭球）时，区域仍然有对称性，但坐标彼此不再等价，此时各坐标的轮换性不复存在.计算积分时，可利用区域对称性结合函数的奇偶性简化计算，但不能再使用轮换性.在这种情况下：

D（x2+y2）dxdy=D（x+y）2dxdy.

③一般的积分区域中，区域不一定对称，且坐标不一定具有等价性，此时不可使用轮换对称性.计算积分时，按照常规的方法计算或者采用坐标变换的方法进行计算.在这种情况下：

D（x2+y2）dxdy≠D（x+y）2dxdy.

④若积分区域对称性不足，则对于仍然等价的坐标，可利用轮换对称性进行化简；而对于其他坐标，利用常规方法计算即可.在这种情况下：

V（x2+y2+z2）dxdydz=V（x+y+z）2dxdydz.

（二）对于对称曲线积分而言

当曲线对称时可使用对称性简化计算；当曲线中各坐标等价时可使用轮Q性简化计算.计算积分时，利用轮换对称性化简被积函数进而简化计算，或是将被积函数构造成与曲线形式相近的被积函数表达式，可以极大地简化计算过程.在这种情况下：

∫l（x+y+z）2ds=∫l（x2+y2+z2）ds.

总而言之，对称性与轮换性的合理使用是简化积分运算的关键，有时可以使计算变得非常简便.我们在平时的解题过程中要注意这一点，这对我们的学习是大有裨益的.

另外，轮换对称性只是简化积分计算的一种思路，但积分计算的最简方法是由被积函数的特点所决定的，有时采用极坐标（或柱坐标与球坐标）变换来计算积分会更加简便，如上文中例1.1、例2.1所示的情况.所以要根据被积函数的特性，灵活选取计算积分的方法.

【参考文献】

[1]杨小远，孙玉泉，薛玉梅等.工科数学分析教程：下册[M].北京：科学出版社，2011.