实数中考考点解析

实数是后继数学学习的基础,具有承前启后的作用.因而它也是中考重点考察的知识之一.在中考中主要考察数轴、相反数、绝对值、科学记数法,平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的概念、用有理数估计无理数的近似值,以及根式的化简、实数的简单四则运算等.考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力以及数学思想方法的灵活运用.

下面就以2010年部分重点省市中考数学试卷中的考查方式、分值比例等作出相关的统计:

考点一、对实数概念的考查

例1在-1,0,1,2这4个数中,既不是正数也不是负数的是( ).

A. -1B.0C.1D.2

解析:既不是正数也不是负数的数只有一个.即0.故选B.

点拨:在实数的分类中,0既不是正数也不是负数.从数轴上看,0处在正数和负数的分界点,它既不是正数也不是负数.

例2 下列实数中,是无理数的为().

A. 3.14B.C. D.

解析:注意到选项A、B分别是小数和分数,是有理数;根据平方根的概念可知表示9的算术平方根;=3是有理数.而 是开方开不尽的数,属于无理数.故选C.

点拨:任何一个数都可以化为(p,q都是整数)分数形式,任何一个分数又都可以化为小数,小数又分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数.而无限不循环小数属于无理数.因而要准确把握有理数、无理数的概念,不能片面地从形式上判断.

考点二、对实数绝对值、倒数的考查

例3 若a

A.a-2 B.2-aC.aD.-a

解析:根据公式=a,可知-1=a-1-1,由于a

点拨:本题主要考查方根的化简,难度中等偏难.

例4 -3的绝对值是().

A.-3 B.3 C.- D.

解析:根据绝对值的意义知,正数的绝对值是其本身,负数的绝对值是其相反数.-3的绝对值表示为|-3|=3.故选B.

点拨:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0;互为相反数的两个数的绝对值相等.

考点三、对科学记数法、近似数和有效数字的考查

例5“激情盛会,和谐亚洲”第16届亚运会将于2010年11月在广州举行,广州亚运城的建筑面积约是358 000平方米,将358 000用科学记数法表示为_______.

解析:358 000可表示为3.58×100 000,100 000=105,因此358 000=3.58×105.

点拨:科学记数法是把一个数写成a×10 n的形式(其中1≤a

例6 上海世界博览会自2010年5月1日开幕以来,截止到5月18日,累计参观人数约为324万人,将324万用科学记数法表示为_____________万.

解析:324万用科学记数法表示3.24×102万.

点拨:举世瞩目的世界博览会于2010年5月1日在上海举行,赋予这一热点的时代背景,在考查知识的同时,突出数学的应用和思想性于一体.

考点四、对平方根、立方根的考查

例7实数4的算术平方根是_________.

解析:根据算术平方根的概念可知,实数4的算术平方根只有一个,即=2.

点拨:本题考查方根的概念.平方根和算术平方根是易混淆的概念,要注意它们之间的联系和区别.

例88的立方根是().

A.2B.-2C. D.-

解析:根据立方根的概念可知8的立方根是=2.

点拨:实数的立方根只有一个,即、正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,零的立方根是零.

考点五、对实数规律的考查

例9为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密).已知有一种密码,将英文26个小写字母a,b,c,…,z依次对应0,1,2,…,25,这26个自然数(如表1),当明文中的字母对应的序号为β时,将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s对应密文c,

按上述规定,将明文“maths”译成密文后是( ).

A.wkdrcB.wkhtc

C.eqdjc D.eqhjc

解析:m对应的数字是12,12+10=22,除以26的余数是22,因此对应的字母是w;a对应的数字是0,0+10=10,除以26的余数仍然是10,因此对应的字母是k;t对应的数字是19,19+10=29,除以26的余数是3,因此对应的字母是d;…,所以本题译成密文后是wkdrc,故选A.

点拨:本题是信息阅读理解题,解决本题的关键是读懂题意,理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则,然后套用题目提供的对应关系解决问题,具有一定的探究性.

例10类比学习:一动点沿着数轴向右平移3个单位,再向左平移2个单位,相当于向右平移1个单位.用实数加法表示为 3+(-2 )=1.

若坐标平面上的点作如下平移:沿x轴方向平移的数量为a(向右为正,向左为负,平移|a|个单位),沿y轴方向平移的数量为b(向上为正,向下为负,平移|b|个单位),则把有序数对{a,b}叫做这一平移的平移量;平移量{a,b}与平移量{c,d}的加法运算法则为{a,b}+{c,d}={a+c,b+d} .

解决问题:(1)计算:{3,1}+{1,2};

{1,2}+{3,1}.

(2)动点P从坐标原点O出发,先按照平移量{3,1}平移到A,再按照平移量{1,2}平移到B;若先把动点P按照平移量{1,2}平移到C,再按照平移{3,1}平移,最后的位置还是点B吗? 在图1中画出四边形OABC.

(3)如图2,一艘船从码头O出发,先航行到湖心岛码头P(2,3),再从码头P航行到码头Q(5,5),最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程.

解析:通过一动点在数轴的平移,得出实数的加法法则.再将这一法则(或)思想迁移到平面坐标系中,得出坐标平面上的实数对加法法则,最后将法则引申应用.

(1){3,1}+{1,2}={4,3};{1,2}+{3,1}={4,3}.

(2)如图3,最后的位置仍是B.

图3

(3){2,3}+{3,2}+{-5,-5}={0,0}.

点拨:类比学习,迁移应用是近年来中考的热点题型之一.考查知识的迁移应用能力和类比的思想方法.

考点六、对实数整合能力的考查

例11计算:(-4)2+(π-3)0-23--5 .

解析:从题中可知(-4)2=16,|-5|=5.(π-3)0 =1.所以原式=16+1-8-5=4.

点拨:本题主要考查实数的平方、立方运算,零指数幂的法则,绝对值的概念的混合运算,是历年中考的重要题型之一.主要考查实数的综合运算能力.

例12已知x=-1,求x2+3x-1的值.

解析:本题有两种计算方法:一是可以将实数x的值直接代人计算;二是将代数式实施转化:x2+3x-1=(x+1)2+(x+1)-3,再将已知条件x+1=整体代入.

方法1:x2+3x-1=(-1)2+3(-1)-1=3-2+3-4=-1.

方法2:由已知条件得x+1=,所以x2+3x-1=(x+1)2+(x+1)-3=()2+-3=-1.

点拨:本题主要考查实数的化简求值,解决这类问题的一般原则是先化简后代入.但要注意整体思想的运用.