时间：2022-09-04 01:10:53
摘 要：数系的扩张是生产实际需要和数学内在需要的必然结果，需沿着一定规则扩张。实数集的扩充出现了大量的新现象和新问题，用辩证思维，以数之间的客观联系为基础，对数集进一步的认识和感知，实数集的扩充是一次认识上的巨大飞跃。
关键词：数集的扩充 辩证思维
数是数学的最基本概念，对数的研究始终是数学的基本内容，在人类对数的认识和研究过程中，数的范围逐步扩大，数的内容不断丰富。数系的扩张是生产实际需要和数学内在需要的必然结果，数概念的扩张不是随意的扩张，而是沿着一定规则扩张。
一、实数集是自然的、历史的扩充
在数的加法下，所有的整数作成一个群i，零元素为0和负元素为-a。负元素-a其度量意义是具有相反意义的量，其存在的事实比比皆是，所以负数的引入并不感到特别困难。
在数的加法和乘法下，所有有理数作成一个域，它是最小的子域，其单位元素为1，零元素为0。
有理数集扩充就是属数域的扩张，它遵循任意域总可以看作是最小域的一个扩张。设F是域K的一个子域，研究F在K中有哪些扩张，有一种简明的说法： F在K中的扩张无非是在F上添上一些K中的元素。
定义1：设F是K中的子域，S是K的任意子集，K中所有包含F与S的子域的交集是含F与S的最小子域，即由F与S的并集生成的子域，叫做把S添到F上而得的扩张，记为FS。当 S=β（即只含一个元素）时，此扩张就是把β添到Fβ上而得的扩张记为，并叫做F的一个单纯扩张，这显然是最简单的扩张。
如果在K中添加的元素β是F上一个非零多项式φ（x）的根，φ（β）=0，则说β是F上的一个代数元素。
定理：对域F上任意一个质式P（x） ，恰有一个单纯扩张Fβ 存在，使β为Px的根。
它可看成是域扩张定理。例如：在有理数域Q上，有质式P（x）=x2-2，因存在P（）=（）2-2=0，无理数是它的根，所以，根据域扩张定理，恰有一个单纯扩张域Q（）存在，且称为代数元素。
有理数域在极限运算下不是封闭的，例如++…+）指有理序列极限，它是收敛的，此极限却不是一个有理数。引入Cauchy序列ii，
即++…+）=e， e是无理数。
相比无理数 是代数元素，将e称为超越元素。
由定义1，上面所述的有理数扩张的实例，说明有理数域扩张为实数域是：有理数域Q是实数域R的子域，S是无理数组成的集合，S是实数域R的子集，由Q和S并集生成实数域，就是将S添加到有理数域上得到的扩张为实数域。
对于，人们确信无理数存在，是因为它是边长为1的正方形的对角线。这种是自然的、历史的扩充体系，它反映了人类认识数的历史过程。如图1。
二、实数域扩张
图1
定义2：如果β是F上的一个代数元素，其质式为P（x），则单纯扩张F（β）的每一个元素恰有一表法为：
b0+b1β+b2β2+…bn-1βn-1（bi∈F），
复数域C就是实数域R（i），i的单纯扩张 ，i为R上的一代数元素，其质式为x2+1，次数是2，于是每一个复数可唯一地表为b0+b1i（b0，b1∈R），一般地定义为代数形式z=x+yi。
实数集扩充到复数集，复数概念的建立比数集的任何一次都来得困难，复数的引入源于i2=-1，使方程x2=-1有解。易产生的惶惑与疑问是客观世界里怎么去找它原型，直接计算与度量能产生这一结果吗？有一种观点认为“虚数是一种虚妄的数，只是为了解决负数开方的困难而主观臆造出来的”。难道存在一个边长为i的正方形，它的面积是-1吗？很明显，囿于传统的对数集扩充的认识，才会产生这样的问题，这是由度量验证而产生的。
三、实数集扩充为复数集的辩证思考
实数集的扩充出现了大量的新现象和新问题，这就需要我们自觉地进行辩证思考。辩证思维是客观辩证法在思维中的反映，联系、发展的观点是辩证思维的基本观点。世间万物之间是互相联系、互相影响的，而辩证思维正是以世间万物之间的客观联系为基础，而进行的对世界进一步的认识和感知，并在思考的过程中感受人与自然的关系，进而得到某种结论的一种思维。辩证思维模式要求观察问题和分析问题时，以动态发展的眼光来看问题。
如果不把复数看作“虚数”，那么像Wallis一样将复数x+yi用复平面上一点（x，y）表示，采用一对有序的实数引进复数，记复数（x，y），以对应复数的代数形式z=x+yi。
1.以实数集性质为统帅
实数集或复数集同定义在该数集上的运算构成封闭的代数系统，在加法和乘法下是数域。由于加法、乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在两个数集都成立，且实数集是复数集的真子集，实数集的性质起到了统帅作用，表现出实数和复数的四则运算法则具有相同的一致性，比如多个不同复数的乘法可以用逐项相乘，多个相同复数可以用二项式定理展开；若干个因子的积为零，无论实数集或复数集可断言至少有一个因子是实数零。
定义3iv：设G是复数z=x+iy的集合，如果存在一个确定的法则，按照这一法则，对G中的每一个复数z，都有确定的复数ω=u+iv与之对应，则称复变数ω为G上的关于z的复变函数，记作ω=f（z），其中z是自变量，z∈G。
由ω=f（z）=f（x+iy）=u（x，y）+iv（x，y），可知一个复变复值函数相当于两个实变实值函数，u=u（x，y），v=v（x，y）。从而把复数的理论转变为一对实数理论。比如：复变函数导数定义与实变函数导数定义在形式上就没有区别，故实变函数关于和、积、商的一般求导法则，均可移到复变函数上来，复合的复变函数的导数亦用链式法则确定。类似于实函数，复变函数也有微分，其可导与可微是等价的。
同样，实数作为虚部为零的复数，有关复数的概念如共轭复数、模、辐角都可以用到实数上去，则一个实数的共轭复数是它本身，一个实数的模是这个实数的绝对值，一个实数的辐角为0+2kπ，或π+2kπ。
2.层次提升
实数的几何表示是数轴上的点，而复数的全体与复平面上点的全体构成一一对应。在复平面上，复数z还可以看成从原点出发，终点在z点的向量，这样复数模z就是向量 的长度
，并且z1-z2表示点z1与z2之间的距离。若两个复数的加减法运算按向量加减法定义，则对于力学、物理学中的向量如力、速度、加速度等物理量，或几何图形都可以用复数来表示。
例1 证明平行四边形两对角线的平方和，等于各边平方和。
证明：如图2，平行四边形的各边和对角线用复数表示
图2
z1+z22=（z1+z2）
=（z1+z2）（+）
=z1+z2 +z1+z2
=z12+z22+2Re（z1）
同理z1-z22=（z1-z2）
=z12+z22-2Re（z1）
z1+z22+z1-z22=2（z12+z22）
即：平行四边形两对角线的平方和，等于各边平方和。（证毕）
在复平面上，复数z=x+yi与极坐标关系为x=r cosθ，y=r sinθ，因此复数z作成三角表示式z=r（cosθ+isinθ），复数z由一对有序实数z（r，θ）唯一确定，由此可知，任一个用反三角函数表示的角θ，总有一个辐角为θ的复数与之对应。根据多个不同复数之积和两个复数之商
zk=rkcos
（θk）+isin
（）θk，
=cos（θ1-θ2）+isin（θ1-θ2）
若求角的和或差可以由对应的复数的积或商来得出。
例2 计算：
arcsin+arccos+arctan+arccot10
解：
arcsin，arccos，arctan，arccot10
对应复数为3+i，7+i，31+7i，10+i
这四个角之和是它们对应的复数之积在区间（0，2π）内的辐角是：（3+i）（7+i）（31+7i）（10+i）=5050（1+i）
它在区间（0，2π）内的辐角是。
3.突破发展
实数域R上添加代数元素i，引发复数域有多样性的变化。简单地有非实数的复数只有相等和不等之分，而实数可以有大小之别；若干个数的平方和为零，每个数必为零对实数集成立，对复数集不成立；复系数一元二次方程，根的判别式不成立，实系数的一元二次方程，根的判别式成立等。
引发复变函数有深刻的突破。从实质上讲，复变函数在一点可导，要比实变函数在一点可导要求高得多，也复杂得多，这主要是由z0的任意方式的原因，使复变函数与实变函数的导数有着许多的不同，也有许多独特的性质。比如，若一个复变函数在一点的邻域内有一级导数，此可导复变函数就有任意高级导数。
在数学分析中，要举一个处处连续处处不可导的例子，是很困难的，但是在复变函数中，举出这样的例子却是轻而易举。
例3 问f（z）+2x+iy是否可导？
解：此函数在复平面内处处连续，
=
x0
=
y0
当y=kx0时， 随k变化而变化，故它的导数不存在，因而复数在复平面内处处不可导。
当z≠0时，以正实轴为始边，以表示z的向量为终边的角θ称为辐角，记作：Argz=θ。显然任何一个复数z≠0的辐角有无穷多个，彼此两个辐角之间相差2π的整数倍，即如果 θ1是其中的一个辐角，则：Argz=θ1+2kπ（k为任意整数），是复数z≠0的全部辐角，于是有关辐角的等式就是两端各表示辐角的集相等。
设z=zcos（Argz）+isin（Argz），其中辐角主值为argz。
复数zn≠0也是一个复数，不妨设
zn=zncos（Arhzn）+isin（Argzn），
为了避免错误理解De Moivre公式，以下面的推导为证：
根据辐角的定义Argzn=nargz+2kπ，将其代入
zn=zncos（Argzn）+isin（Argzn）
=znnargz+2kπ，）+isin（nargz+2kπ）
=zncos（nargz+2kπn），+isin（nargz+2kπ）
=zncosn（argz+2kπ，）+isin（nargz+2kπ
=zncos（nArgz）+isin（nArgz）
推证中复数z≠0辐角的n倍与复数zn≠0的辐角个值并无等式关系，那么正确理解De Moivre公式就是对于某个复数，如果将它的模n次乘方，并将它的辐角乘以n，就得到该复数相等因数的n次幂。
从实数集到复数集的扩充，是一种理论的、逻辑的体系，是一次认识上的巨大飞跃。