全国新课标卷一创新题展示

亮点1：内核依旧，方法相似，载体创新

例1 （文科卷第16题）已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）.当APF周长最小时，该三角形的面积为_____.

难度系数 0.65

分析 根据题意，画出草图，可知APF的周长随点P在左支上的运动而发生变化，A，F为定点，AF为定长.凭直观，点P应位于双曲线的左支且在第二象限比较靠近y轴的某个位置，从而使得APF的周长最小.直接利用|AP|+|PF|>|AF|不奏效，于是我们联想到双曲线的定义，将其转化为求|PA|+|PF1|的最小值则十分容易，进而求出此时点P的坐标，再求出APF的面积即可.

解 依题意可知，双曲线C：x2-=1的右焦点为F（3，0），实半轴长a=1，左焦点为F1（-3，0）.由于P是C的左支上一点，所以|PF|-|PF1|=2a=2，则APF的周长l=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|≥|AF1|+2+|AF|=15+2+15=32，当且仅当A，P，F1三点共线且点P在A，F1之间时取得等号，此时直线AF1的方程为+=1，即y=2x+6.由y=2x+6，8x2-y2=8，消去y整理得（x+2）（x+7）=0，从而可知点P的坐标为（-2，2）（-3

小结 定义转化、动静结合、几何法研究最值是解析几何中的常见问题，有的还需要利用对称性进行转化求解.

亮点2：数形结合，设而不求，沟通运算

例2 （文科卷第21题）设函数 f（x）=e2x-aln x.

（Ⅰ）讨论 f（x）的导函数 f ′（x）零点的个数；

（Ⅱ）证明：当a>0时， f（x）≥2a+aln .

难度系数 0.55

分析 解答第（Ⅰ）问时，我们可先求出f ′（x），再研究f ′（x）的单调性，进而判断零点的个数，也可以利用零点存在性定理来解答，或者将原问题转化为两图像交点的个数问题来解答.要证明第（Ⅱ）问，我们根据第（Ⅰ）问可知，f ′（x）有唯一的零点x0，但是由2=无法求出x0，可利用设而不求，将其进行沟通运算，进而得到结果.

（Ⅰ）解：据题意可知，函数f（x）=（e2）x-aln x的定义域为（0，+∞），f ′（x）=（e2）xln e2-=2e2x-（x>0）.

当a≤0时，f ′（x）>0，此时f ′（x）没有零点.当a>0时，由于y=2e2x单调递增，y=-在（0，+∞）上单调递增，所以f ′（x）在（0，+∞）上单调递增.又f ′（a）=2e2a->0，当0

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可设 f ′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，当x∈（0，x0）时， f ′（x）0，此时 f （x）单调递增，所以当x=x0时， f （x）取得最小值，且最小值为 f （x0）.由f ′（x0）=2-=0，得2=，2x0+ln 2=ln a-ln x0，所以-ln x0=2x0+ln .故f （x0）=-aln x0 =+2ax0+aln ≥2a+aln .

小结 对某个零点x0设而不求，只是让x0参与运算（含在恒等变换中起着沟通作用），进而解决相关的问题.此类问题是近年高考的热点题，本题可谓将其发挥得淋漓尽致.

亮点3：四边形问题内藏三角形，点运动定临界

例3 （理科卷第16题）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是_____.

难度系数 0.55

分析 由∠B=∠C=75°及BC=2确定等腰EBC，再作∠BAD=75°，然后平行移动AD，让点A在BE上运动，进而确定点A的两个极限位置（可无限接近但不能到达），从而解三角形求出取值范围.

解 如图1所示，作等腰EBC，使得∠B=∠C=75°，BC=2.作直线AD分别交线段EB，EC于点A，D（不与端点重合），且使∠BAD=75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形.过C作CF∥AD，交BE于点F.在CFB中，CF=CB=2，∠CBF=75°，BF=2×BF=2×2cos 75°= 4×=-.在EBC中，BE===+.

故AB的取值范围是（-，+）.

小结 解决具有迷惑性且被“包装”过的问题，我们要善于揭开表象，发现本质，这样方能找到破解的钥匙.数形结合、动静结合、确定临界位置，用这样的方法来解决的试题是高考中的常态.

亮点4：转化构图，“存在”设题，界点定域

例4 （理科卷第12题）设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a

A.[-，1） B.[-，）

C.[，） D.[，1）

难度系数 0.48

分析 我们可以尝试分离参数a进行研究，但需要对进行分类讨论，且要选择合适的研究方法.我们也可将原问题先转化为ex（2x-1）

解 由f（x0）=+>>e，这与a

故a的取值范围是≤a

小结 若将f（x）

亮点5：“史”的文化，反映数学的科学价值和人文价值

例5 （理科卷第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图2，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

难度系数 0.85

分析 阅读题目给出的问题（原文尤其是译文），结合所配的图形，正确理解题意，将问题转化为求个圆锥的体积问题，进而估算出堆放的米的斛数.

解 由×2πr =8，可得圆锥的底面半径r=≈，所以米堆的体积V=×πr2h≈××5=.故堆放的米约有÷1.62=22斛.选B.

小结 湖北卷以“史”的文化为载体的试题，每年高考均有出现，多姿多彩.现在全国新课标卷一也从数学文化史中取材，配以情景图形，设计相应的问题，这是一个新的信号.

亮点6：三视图常考常新，剑指空间想象能力

例6 （文科卷第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图3所示.若该几何体的表面积为16+20π，则r =

A.1 B.2 C.4 D.8

难度系数 0.70

分析 由正视图与俯视图想象出其直观图，然后进行求解即可.

解 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个半球与半个圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S=×4πr2+πr2+2r・2r+πr・2r=（5π+4）r2.又S=16+20π，所以（5π+4）r2=16+20π，解得r =2.选B.

小结 将三视图还原为直观图，我们必须对轮廓线分清虚实，画出直观图（草图），并将画出的直观图又返回到三视图（核验），待正确无误后再求解.

亮点7：教材题型直接移植，特征开掘

例7 （文科卷第8题）函数 f（x）=cos（ωx+φ）的部分图像如图4所示，则 f（x）的单调递减区间为

A.（kπ-，kπ+），k∈Z

B.（2kπ-，2kπ+），k∈Z

C.（k-，k+），k∈Z

D.（2k-，2k+），k∈Z

难度系数 0.65

分析 由图4可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间由相位对应求解.最简单的方法是找出一个单调递减区间，然后加上最小正周期的整数倍即可.

解 由图4可得周期T=2×（-）=2，所以ω==π.由y=cos x的图像及相位对应可得π+φ=2mπ+，m∈Z.令m=0，得φ=.所以f（x）=cos（πx+）.由2kπ

小结 解题要熟知和切实掌握通性通法，更要能根据问题的特征，寻找更快捷的解题途径.

（责任编校 周峰 冯琪）