例谈用函数思想指导数列不等式的证明

摘 要：数列不等式的证明是中学数学教学的难点，在高考中常为压轴题. 用函数思想指导数列不等式证明的分析，是解决此类问题的一种通法，若善于观察捕捉问题中变量之间的相互依赖关系，构造恰当的函数，则问题便可用函数的图象、性质等，通过研究其单调性、最值等加以解决.

关键词：数列；不等式；函数思想

数列不等式的证明问题近年来一直是高考的热点，这类问题往往能够融合数列、不等式、函数、解几等多个模块的知识，问题的解决更是要涉及多种数学能力，因而多被用于高考压轴题. 对于难度较大的数列不等式的证明问题大多要用到放缩法，但怎样转化才能有利于放缩、如何把握放缩的度对于高中学生来说则是十分困难的，面对问题学生普遍感觉找不到的切入点.由于数列是一种特殊的函数，因而可以应用函数的思想方法来分析证明数列不等式，通过构造函数将问题转化为研究函数的单调性问题，或求函数的最值问题. 本文试以2011年高考广东卷理数第20题为例，用函数思想指导问题分析，突破分析的瓶颈，寻找问题解决的有效途径，为这类问题的解决开创一个新视点.

题目：设b>0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，an≤+1. （2011年高考广东卷理数第20题）

第（1）问的解决较为容易，其答案为a=，下面用函数意识对第（2）问进行分析.

[?] 构造函数利用其导数探究证明

设法构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，将不等式的证明问题转化为函数值大小比较问题. 本题中含有两个字母，不等式的成立性与两个都有关，可选取一个作为变量，另一作为参数. 下面选择正整数n作为变量进行探究，为了求导的需要，用x表示n，并让x≥1.

因此当p>1时，对一切正整数n，f（n）=p2n+1+（1-p）（1+2n）pn-1>0，变形得≤（pn+1+1），故有当p>1时，不等式（?）成立. 当0

评析：构建函数为证明数列不等式另辟了蹊径，在迷雾中看到曙光，导数在其证明中发挥了重要作用，利用导数研究函数的单调性是一种重要的数学方法. 但必须有扎实的运算功底和较强的分析推理能力.

[?] 以参数为变量构造函数分析证明

前面证明虽然具有一般性，但过程冗长，运算量大，在心理紧张的情况下易出错. 仔细分析由于选择了正整数n作为变量，使得问题中出现了指数型函数，求导过程变得复杂，致使式子麻烦难以处理，下面以另一个参量b作为函数的变量来构建函数进行研究.

评析：在上面的证明中所构建的函数为多项式函数，宜于求导运算，运算推理能力的要求大为降低，证明过程大为简化.可见函数模型的合理构建非常关键.

[?] 研究函数的单调性完成证明

从数列不等式出发构造离散函数，判断函数的单调性，如具有单调性则证明变为首项成立的验证问题，过程会非常简洁，这也是数列不等式证明中常用的方法.

证明：当b=2时，an=2，+1=2，成立.

当b>0且b≠2时，n∈N*，即证an=≤+1，

令b=2p，则p>0且p≠1，等价于证明-2n≥0.（??）

令f（n）=-2n（n∈N*），则f（n+1）-f（n）=-2（n+1）-+2n=-2>2-2=0.

所以f（n）是关于n的递增函数，又f（1）=-2=-2>0.

对一切n∈N*，都有f（n）>0，所以不等式（??）成立.

评析：数列具有双重身份，既可以看做函数，同时具有自身的特殊研究规律，对数列不等式的观察基于它是一类特殊的离散函数的视角去看，则又是一番景象. 上面的证明中利用相邻两个函数值的差这一研究单调性的基本方法，使天堑变通途.

[?] 利用函数的最值巧妙证明

前述证明其实就是构建函数后采用作差比较法探究函数的单调性，与此法相应的还有构造恰当的函数探究其最值来实现证明. 也就是将其一端化为常数，利用另一端的表达式构造函数，问题当然就转化为求函数的最值问题.

证明：由1知，问题的关键即证≤（pn+1+1）（p>0，p≠1）（?）

亦即证≤1，令f（n）=（p>0，p≠1）.

因为f（n）=（p>0，p≠1），

所以=

=1+

=1-

因此对一切正整数n，都有f（n）≤f（1）=≤1. 故（?）成立，不等式得证.

评析：这种证法的思路是简单朴素的，但要有敏锐的观察能力发现所研究式子的结构特征，利用不等式左边为积和商的关系，然后将所证不等式等价化为右边为常数，进而通过构造函数求函数的最值来实现证明. 这里才能为运算把握正确的方向，不至于做无用功.

从前面的分析论证过程可以看出，基于函数思想指导对问题的分析，贯穿了函数思想的应用，避免了过高的数学技巧，使证明思路自然地形成. 从阅卷情况的反馈来看，卷面上看出现了大量的空白卷，有作答的学生也思路不十分清晰，不能找到解决问题的有效途径. 若能养成用函数思想指导分析证明数列不等式的习惯，则使这种令人尴尬的局面会有所改变.

函数的概念是高中数学的核心内容，函数思想贯穿于高中数学教学的全过程，用函数思想指导问题分析是高中学生应具有基本数学能力. 数列是一类特殊的函数，用函数思想指导数列问题的分析，是一种解决数列问题的通法，若善于观察捕捉问题中变量之间的相互依赖关系，构造恰当的函数，则问题便可用函数的图象、性质等，研究其单调性、最值等加以解决.