剪刀下的奇迹

我国著名数学家华罗庚在统筹方法中以泡茶为引子，引出了最长矛盾线，也就是用时最长的工序线. 对于很多非常复杂的工序流线图，要找出主要矛盾线是极为困难的. 不过你可能万万没有想到，要解决主要矛盾线的问题，只需要一把普通的剪刀就够了……

我国著名的数学家华罗庚教授，曾用一道简单而有趣的问题作引子，介绍了一门新兴的数学分支――统筹方法.

问题是这样的：想泡壶茶喝，当时的情况是没有开水，开水壶需要洗，茶壶和茶杯也需要洗，已经有茶叶了，火也已经升了，怎么办？

方法自然是有的，例如：

方法一，先洗开水壶，灌上凉水，放在火上，然后坐着等水开，水开了之后立即洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，再泡茶喝；

方法二，先洗开水壶、茶壶和茶杯，并拿来茶叶，一切准备就绪后再灌水、烧水，待水开后泡茶喝；

方法三，先洗开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水一开便泡茶喝.

我想，聪明的读者都已经看出来了，方法三是最好的. 头两种都“窝了工”，造成了时间上的浪费.

仔细分析一下就会知道，在要做的许多事中，有些事必须做在另一些事的前面，而有些事则一定要做在另一些事的后头. 例如，不洗开水壶，即使水烧开了，卫生没有保证，这自然是不可取的. 因此，洗开水壶是烧开水的先决条件. 同样，烧开水、洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶都是泡茶的先决条件. 图1的箭头图，可使人一目了然地看清楚各事件间的先后顺序和相互关系，箭杆上的数字表示完成这一动作所需要的时间（图中的单位为分钟）.

用数字表示任务，并把本身没有先后顺序而且是同一个人干的活合并起来，便有了这种箭头图，我们称之为工序流线图. 当然，华罗庚教授所举例子中的工序流线图是极为简单的. 在一般情况下，需要完成的任务很多，内部关系纵横交错，因而工序流线图也就比较复杂.

对一项工程来说，一个很重要的指标是：完成它需要多长的时间？例如上面的泡茶例子，完成它至少需要16分钟. 这是根据图2中用时最长的一条工序流线①②④计算出来的. 这条用时最长的工序流线，我们称之为主要矛盾线. 工序流线图中的其余工序，显然都可以安排在完成主要矛盾线的同时去完成. 正如泡茶例子中的工序（34），即洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，都可以安排在工序（24），即烧开水中去完成.

读者容易明白：主要矛盾线上如果耽误一分钟，整个工程完成的时间也势必推迟一分钟，相反，如果主要矛盾线提早完成了，那么整个工程也就有希望提早完成！

下面是一张生产计划表：

相应的工序流线图如图3所示.

要找出该生产计划的主要矛盾线，就必须算出各条工序流线所需要的时间. 所需的时间如下表所示.

由上表可看出，编号为5的工序流线为该生产计划的主要矛盾线，它表明要完成这项生产计划所花的时间不能少于26个单位.

读者不难想象，对于更为复杂的工序流线图，要像上面那样找出主要矛盾线是极为困难的. 不过，读者可能万万没有想到，要解决主要矛盾线的问题，只需一把普通的剪刀就够了！要说明这种剪刀下的奇迹，我们还得从“紧绳法”讲起.

大家都知道，如果从甲地到乙地有两条路可以走，人们总是走近道. 但对于交通发达、道路纵横的区域，要想从一个地方找近道到另一个地方，就不那么容易了.

有一种简捷的办法，可以使人在几分钟甚至几秒钟内就从几十条甚至几百条道路中，选出一条最短的，这就是紧绳法. 具体是这样的：把区域的交通图铺在平板上，然后用不容易伸缩的细线，仿照地图上的线路结成一张如图4所示的交通网. 如果我们要找出从A到B的最短路线，只需用手捏住A、B两点的线头，用力把它们往相反的方向拉开，则拉成的直线ACDEB就是我们所要找的最短路线（如图5）. 道理无须多说，读者也会明白.

现在轮到找主要矛盾线了. 明眼的读者可能已经看出，工序流线图有点像城市的交通网，不过，只是把完成任务的时间看成相应道路的长短，同时，任务的进行是有方向的罢了！可惜这里要求的不是最短的路线，而是最长的路线.

现在，我们就利用一把剪刀，把紧绳法巧妙地移植到本篇文章所要求的问题上来.

像紧绳法那样，用不容易伸缩的细线编成一个工序流线图那样的网. 仍以前面的生产计划为例，我们作出图6，网中各段细线的长度表示完成相应工序所用的时间.

拉紧1、9可得图7.

以上显然求出了从1到9的最短路线. 为求主要矛盾线，我们可以将直线段1到9上有分叉的某一节剪去. 当然，剪时最好能从头开始，同时还要注意剪后新图上工序箭头的合理性. 例如，剪去2―5并拉紧1、9可得图8.

同理，剪去图8中的2―3并拉紧1、9得图9.

读者从原来的工序流线图上不难看出，工序7―3―6与工序7―5―6并不存在（箭头方向不对），因而线头3和5实际上不起作用，可以大胆剪去，得到图10.

最后，剪去4―6得到图11.

现在已经没有分叉了，所得的最长路线为：

1―2―4―7―8―9.

这显然与我们前面通过计算得到的主要矛盾线是一样的！

瞧，剪刀下果真出现了奇迹！这是当初数学家们所没有料到的.