浅析求二次函数解析式的基本方法

二次函数是初中数学中的重点和难点，它是所学函数中最复杂、最重要的，而且是每年各省市中考必考内容之一。求二次函数解析式的方法多种多样，现根据我平时在教学实践中积累的经验，对求二次函数解析式的方法总结，归纳为五种，希望对同学们的学习有所帮助。

一、一般式

当已知抛物线上的三点坐标用一般式y=ax2+bx+c（a≠0）求函数解析式，因为三点坐标在抛物线上，那么三点满足y=ax2+bx+c，然后把三点坐标代入一般式组成三元一次方程组，解此方程求出特定系数a，b，c，即可求得二次函数解析式。

例如，已知二次函数图象经过（-1，10）（1，4）（2，7）三点，求此函数解析式。

分析：二次函数的一般式为y=ax2+bx+c，此问题是确定a，b，c。由已知条件可列出方程组，从而解出特定系数。

解：设所求二次函数解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得a+b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7，

解得a=2，b=-3，c=5，即所求二次函数解析式为y=2x2-3x+5。

二、顶点式

当已知二次函数图象顶点坐标和图象上另一点的坐标时，用顶点或求解析式，若条件涉及对称轴方程和最大（小）值，图象与x轴截得的线段长也可用此方法，顶点式y=a（x-h）2+k，抛物线的顶点p（h，k）。

例如，已知二次函数的图象经过点（2，1），顶点坐标为（3，-1），求二次函数解析式。

解：设解析式为y=a（x-3）2-1，然后把点（2，1）代入解析式得1=a（2-3）2-1，a=2，即函数解析式为y=2x2-12x+17。

三、两点式

若抛物线经过一点且与x轴两个交点坐标可用两点式y=a（x-x1）（x-x2），其为（x1，0）（x2，0）。

已知抛物线与x轴交点坐标为（-2，0）（6，0）且过点（1，3），求函数解析式。

解：设y=a（x-x1）（x-x2），y=a（x+2）（x-6），把点（1，3）代入y=a（x+2）（x-6），得a=-，即可得函数解析式为y=x2-x-。

四、平移法

二次函数图象进行平移过程中，图象的形状、大小、开口方向都不发生变化，即a的值不变，但顶点发生了变化。将一个二次函数图象经过上下左右平移得到一个新的抛物线的解析式应先将已知函数的解析式化成顶点式y=a（x-h）2+k，当图象向左右平移n个单位，在x-h加上（减去）n;当图象上下平移m个单位时就在k上加上（减去）m，其平移的规律是h值为正负则左右平移，k为正负则上下平移。

例如，把函数y=-3x2+14x-3的图象向左平移3个单位再向下平移4个单位，求平移后的解析式。

解：先将y=-3x2+14x-3化成顶点式y=-3（x-2）2+9把图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位，则顶点坐标为（-1，5），即所求函数解析式为y=-3（x+1）2+5，y=-3x2-6x+2。

五、用180°旋转法

用180°旋转法，开口方向发生了变化，即开口向上变为向下，或向下变为向上，顶点坐标没有变化，只需将a变为相反数，但是首先变化成顶点式但绝不能在一般式的基础上改变a的符号，这样做是错误的，因为这样的话，顶点也发生了变化。

例如，将抛物线y=4x2-24x+26绕顶点旋转180°后求二次函数解析式。

解：先把y=4x2-24x+26化成顶点式，y=4（x-3）2-10，即函数解析式为y=-4（x-3）2-10，y=-4x2+24x-46。

练习：根据下列条件分别确定二次函数解析式。

（1）抛物线y=ax2+bx+c过点（-3，2）（-1，-1）（1，3）

（2）抛物线与x轴的两交点的横坐标分别为（-，）与y轴交点纵坐标为-5。

（3）抛物线的顶点坐标为（-1，1）同时经过点（1，9）。

（4）函数y=2x2-12x+23的图象向下平移3个单位，向左平移1个单位。

（5）函数y=-3x2+6x-5的图象绕顶点旋转180°后，求函数的解析式。

（作者单位：贵州省务川县九年一贯制牛塘学校）