一元函数不定式极限常用方法浅析

[摘要]不定式极限的计算是极限运算中较为重要又不易掌握的。本文是对 型的不定式结合具体例子分析了不定式的各种求法，以便掌握解题技巧。

[关键词]不定式 极限 计算方法

极限是高等数学中最基本的概念，是学习微积分学基础，是整个微积分思想的核心所在。在微积分学中占有极其重要的地位。而极限概念及其运算则是初学高等数学的学生难于理解又不易掌握的，对不定式极限的计算尤为困难。不定式极限的计算又是较为重要的一种类型， 其计算的方法灵活多变，初学者在求不定式的极限时，往往只会套用洛必达法则，不可否认洛必达法则是计算不定式极限非常有效的方法之一。但在实际运用过程中学生没有注意到洛必达法则的“局限性”和使用范围。不定式的类型有： 等，其中

是最基本的不定式型。本文就不同类型的不定式的极限求法辅以实例作一点浅析。

一、不定式的相关概念及其类型：

二、不定式类型的转换

当 的基本不定式满足洛必达法则的条件时直接用洛必达法则求极限，对 型的不定式可通过变形转换为 型的不定式，再用洛必达法则求极限或对不定式进行变形，消去产生不定式的因素，或应用两个重要极限： 求得极限值，现将转换方法归纳于下：

三、求不定式的极限实例剖析

（一）. 型的不定式：

1.利用重要极限 求极限

一般地，是 不定式且含有三角函数或反三角函数，常利用三角恒等变形成 的形式求极限：

列1.求极限

例2.求极限

2.等价无穷小法求极限

当 的不定式分子、分母存在等价无穷小时，可用等价无穷小代换再求极限，会给解题带来极大方便；常见的等价无穷小有：当x0时：sinxx

例3.求根限

此题运用了当x0时ex-1～x，sinx～x，（1+x）a-1～ax

3.无穷小量相约法

当 型的不定式：

（1） 是有理式分式，可将分子、分母同时进行因式分解，约去同时趋于0的公因式，再用商的极限法则求极限.

（2） 是无理式分式，先把根式有理化，再约去分子，分母中同时趋于0的公因式， 再用商的极限法则求极限.

4.洛必达法则求极限

当 的不定式满足洛必达法则的条件时，可用洛必达法则求极限，

说明： 如果 仍属于 型，且f`（x）和F`（x）满足洛必达法则的条件，可继续使用洛必达法则， 即

例7.

解： 原式为 型，且满足洛必达法则的条件，可用洛必达法则

5.变量换元与重要极限结合运用

例8.求极限

解：令t=arcsin（x-2），则x-2=sint，当x2时，t0

（二） 型不定式

1.无穷小量分出法

当有理式分式函数的分子，分母都是多项式，且当x∞时，分子和分母都是无穷大，这时有理式分式是 ，可用无穷量分出法，即：用分子，分母中自变量的最高次幂去除分子、分母，分离出无穷小，再求极限。

例9.求极限

2.洛必达法则

当 型不定式满足洛必达法则的条件时，可用洛必达法则求极限

例10.求极限

解：原式为 型，且满足洛必达法则的条件，可用洛必达法则

（三）可化为 的不定式

1.变量代换与洛必达法则结合

（0∞）型不定式可通过变形或变量代换成 再用洛必达法则

2.重要极限法

1∞、∞0、00型的不定式以及含有对数函数、指数函数不定式可通过变形再利用重要极限。

例13.求极限 （1∞型）

3.利用函数的连续性和洛必达法则联合求极限

例14.求极限 （00型）

将所求的00型的不定式转换为 型，再求极限

例15.求极限 （∞0型）

将所求的∞0型的不定式转换为 型，再求极限

说明：对 不定式满足洛必达法则的条件时单独使用洛必达法则会更简捷，在使用洛必达法则求 型不定式极限时应注意：

（1） 洛必达法无凝是求 不定式的重要工具，但并非万能，有些 型不定式的极限用洛必达法则相反较繁琐。如：

例16.求极限 （ 型）

如果使用洛必达法则就较为繁琐：

而用变量代换就比较简单

（2） 是否满足洛必达法则的条件，若不满足不能用。

例17.求极限 （ 型）

分析：这是 型不定式，但因 不

存在，所以不能用洛必达法则，可用一般方法：

综上所述：求不定式的极限，要注意分析不定式的特点，再采取相应的方法，没有任何一种方法是万能和通用的，解题过程中要多种方法灵活运用，优势互补，

掌握解题技巧，提高解题效率。

[参考文献]

[1]聂晓俊.工程类数学教材《高等数学》，高等教育出版社，2003.6第一版

[2]同济大学数学教研室.高等学校教材《高等数学》.高等教育出版社.1996.12.4

[3]石建城.《高等数学例题与习题集》.西安交通大学出版社.2002.2

[4]赵树源.《微积分》中国人民大学出版社.1988.5

（作者单位：六盘水职业技术学院 贵州六盘水）