“对称”法巧解动量与机械能双守恒问题

如果碰撞过程中机械能守恒，这样的碰撞叫做弹性碰撞.近代物理学中，经常遇到的是微观粒子间的碰撞.微观粒子碰撞时没有能量损失，所以相对于其他碰撞，弹性碰撞是研究的重点.

为了让学生掌握弹性碰撞，教材是如何设置教学的呢？人教版教材通过设置“思考与讨论”激发学生的自主探究与合作交流来实施教学，“思考与讨论”表述如下：我们考虑一维弹性碰撞.在本章第1节开始的演示中，大家已经观察了两个质量相等物体的碰撞、两个质量悬殊物体的碰撞，了解了它们碰撞后速度变化的特点.现在把它们的碰撞看做弹性碰撞，从理论上分析不同情况下碰撞前后速度的变化情况.假设物体m1以速度v1与原来静止的物体m2碰撞，碰撞后它们的速度分别为v1′和v2′.我们的任务是用m1、m2、v1表达v1′和v2′的公式.碰撞过程遵从动量守恒定律，据此可以列出包含上述各已知量和未知量的方程.弹性碰撞中没有机械能损失，于是可以列出另一个方程.两个方程联立，把v1′和v2′作为未知量解出来就可以了.

根据“思考与讨论”中的相关提示，学生通过独立思考与相互交流后，很容易就得出了动量守恒表达式：m1v1=m1v1′+m2v2′与机械能守恒定律表达式12m1v21=12mv1′2+12m2v22′.但是对于这个二元二次方程组从理论上说任何学生都应会求解，但在实际求解过程中却超乎想象的复杂，几乎没有学生能在较短的时间内求出正确的结果.因为是“思考与讨论”，教材不可能直接给出求解的过程，只能给出两个结果后加以特殊情况的讨论.若是简单的让学生记住最后的结果显然有悖于教学的真实性.笔者首先想到了求助于教师用书，果不其然在教师教学用书上找到了“思考与讨论”的教学片断，如下所示：

分析与求解：引导学生创设情境，明确研究对象，明确已知量、未知量，分析两个小球碰撞前后的状态，并假设碰撞后物体m1的速度v1′的方向与v1一致，如图1所示.根据动量守恒定律，列出一个方程

在实际教学过程中有同学注意到，二元二次方程组应该有两组解才正确，而课本上只给出了一组解.还有一组解上哪里去了呢？在（3）、（4）两式相除并约去了（v1-v1′）和v2′时，已经假设v1-v1′≠0和v2′≠0，即v1≠v1′和v2′≠0.但经过代入计算，发现v1=v1′和v2′=0恰好也是方程的一组解.其实，这组解所代表的正是题目所给的初始状态时的情况.因此，将这组解舍去，另一组解才表示两物体碰撞后的速度情况.

上面的解法关键是利用原有方程组得出一个新的二元一次方程，然后新方程与原有的二元一次方程组合成新的二元一次方程组并进行求解，不妨将上面的方法定义为降次法，是一种纯数学的解题方法.是否还存在着其他的方法呢？笔者思考分析用物理的思维方式来解决动量与机械能的双守恒问题，暂称为“对称法”，具体方法如下：

将两物体发生弹性碰撞的过程分解为两个分过程：过程1、从两物体开始碰撞至它们之间的距离最小时刻；过程2、从两物体距离最小时刻至它们分离瞬间.

第1过程：两物体发生碰撞，当它们之间距离最小时两物体具有相同的速度（如图2所示），由动量守恒定律得

从以上分析可以得出，利用运动的“对称性”求解动量与机械能双守恒问题的简单是显而易见的.下面就更复杂情况下的动量与机械能双守恒举例说明.

拓展与应用：如图4所示，质量分别为mA、mB的A、B两个滑块之间用一轻弹簧相连，放置在光滑的水平面上，轻弹簧处于原长.在瞬间分别给A、B一个冲量，使A获得初速度vA，B获得初速度vB（vA≠vB）.求弹簧第一次恢复原长时A、B两物体的速度vA′和vB′.

降次法：经分析，A、B物体与弹簧组成的系统在恢复原长的全过程中动量和机械能双守恒，列式如下：

单纯的符号运算的优点是具有普遍适用性，缺点是显得较为复杂.因此以上两种方法一般仅在没有具体数据时使用.当条件中有具体数据时，直接将数据代入动量守恒和机械能守恒后求解，有时也不是那么复杂.