“对称性原理”在静电学中的应用

物理是一门自然学科，它包括了世间的各种现象，力的、光的、电的、磁的等等。要学好这门课，就得有科学的方法和技巧，而“对称性”是物理学中一种重要的方法，有着广泛地应用。从哲学的角度来看，世界的事物都是一分为二的，把它用到物理上其实就是对称性。

事实上, 对称现象广泛存在于各种事物之间，结构对称、物像对称，时间对称、空间对称，点对称、轴对称等等，分析解决问题时，抓住事物的对称性采取一些变通，常常会使复杂的问题简单化。

利用对称法的关键在于寻找研究对象的对称性特点,在已有经验的基础上通过直觉思维，或借助对称原理的启发进行联想类比，来分析挖掘研究对象在某些属性上的对称性特点。本文仅就对称法在静电学中的应用作一些分析。

1 带电圆环产生的电场的场强计算

有一个均匀带电圆环,半径为R，所带电量为Q，圆环轴线上距环心（O点）r处有点P。求P点场强。

分析 本例具有轴对称性，利用对称性易于求出轴线上任一点的场强。在圆环上取一小段（可看成点电荷），所带电量，

ΔQ=Q/2πRΔl

它在P点产生的分场强为：

ΔE=kQΔl/2πR(r2+R2)

圆环上小电荷产生场强的平行于轴的分量

ΔEX=ΔEcosθ

垂直于轴的分量则因环上对称小电荷在P点产生的场强等大反向而相互抵消。

所以，所求P点的合场强为

2 均匀带电球壳（球体）内外的电场

如图2所示，均匀带电球壳所带电量为Q，求球壳内部的场强。

分析 过P点作两个顶角很小的对顶圆锥面，在球壳上截出两个近似圆形的小球壳面A、B，（可看成点电荷），由几何相似形，可得出A、B的面积和它们到P点的距离的平方成正比，而球面A、B所带电量与面积成正比，故有：

根据库仑定律，可知点电荷qA、qB在P点处产生的场强是互相抵消的。用同样的方法，结合对称性，可知均匀带电球壳内部的场强处处为零。

如果讨论的是球体，由于内部场强处处为零，内部不存在自由电荷，自由电荷均匀分布在球体外表面，故其结果同上。

更为有趣的是，根据对称性和矢量叠加原理，球壳（球体）外部任意点P（如图3所示）的场强为（数学知识超出高中要求，此处略去）：

式中r为OP的距离，Q为球壳的带电量。

上述结果表明，在研究球体外部的场强时，可以把均匀带电球壳看成是电量集中在球心处的点电荷，而与带电体的半径无关。

3 缺损圆环产生的电场

有时在解题中没有直接的“对称”模式可循，这就需要根据题意，选取适当的对象，构造出一个“对称”模型。正面解比较难，而用了对称理论从侧面就容易解决问题。

如图4所示，半径为r的圆环，其上带有均匀分布的正电荷，单位长度的电荷为q，现截去圆环一小段圆弧AB，（圆弧长L

解析 圆环缺损后，部分失去了对称性。但注意到，图中除与A′B′对称部分AB缺失外，其余部分仍是对称的，它们在环心处产生的场强为零，从而整个环在环心处产生的场强等效于A′B′在环心处产生的场强，其方向为环心指向缺口处，大小为：

当然，也可用“挖补法”来解决。设想将缺失的带电圆环再补上，根据对称性，圆心O处的场强应当为零，即缺口圆在O处的场强与截弧AB在O处的场强等值反向。

4 无限大导体板的静电感应问题

一块无限大导体板，左侧接地，在右侧离板d的A处放置一个源负电荷q，求静电平衡后①板上感应电荷在导体内部任意点P产生的场强；②感应电荷在导体外部任意点P`产生的场强；③证明导体表面附近处的合场强垂直于导体表面；④求源电荷-q受到的库仑力。

分析 ①因为静电平衡后导体内部合场强为零，所以感应电荷在导体内部任意点P产生的场强必然和-q在该点产生的场强等大方向，从而相互抵消。若A到P的距离为rA,则：

E感A=kq/r2A;（方向如图5）

②根据对称原理，感应电荷在导体外部任意点P′产生的场强一定和感应电荷在对称点P″产生的场强镜像对称，若A到P″的距离为rB,则

E感B=kq/r2B;（方向如图6）

③根据上面的讨论，若将P′取在导体外表面，此处的电场由E-q和E感B叠加而成，不难看出，合场强垂直于导体表面，如图7所示。

④假若在导体内部取与-q所在点A的对称点A′，则A′的场强由E-q和E感叠加为零，由对称性可知，A处的E感′和A′处的E感应等大反向，所以-q所受的电场力为：

从以上分析看出，对导体外部而言，感应电荷的作用和在与源电荷A的对称位置A′处放上一个等量异种电荷的效果是完全等效的，这就是根据“对称性原理”得出的，也称为“电像法”。值得注意的是，从上述①看出，该法对导体内部是不适用的。

由此可见，“对称性”理论能给我们的解题带来极大的方便，以上几例知识小试牛刀，其他较深入运用还需要我们在学习实践中慢慢领悟和体会。

对称法作为一种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考命题中都有所渗透和体现,从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力.既有利于高校选拔能力强素质高的优秀人才，又有利于中学教学对学生的学科素质和美学素质的培养.作为一种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现，希望在学习过程中予以重视和理解。

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