初中数学解题方法之旋转

【摘要】 初中图形变换包含平移、翻折和旋转，我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题.

【关键词】 解题方法；几何变换；旋转

在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使其转化成新的有利于我们论证的几何图形.

一、三角形角度问题（ 旋转构成直角三角形 ）

例1 如图1，点O是等边三角形ABC内一点，OA = 3，OB = 4，OC = 5，试证明以下结论：∠AOB = 150°.

分析 这里待证结论与题目的已知条件看似风马牛不相及，但是已知条件特征明确，有等边三角形，即可以产生60°的角，而OA = 3，OB = 4，OC = 5的线段虽没法直接运用，但是很容易使人联想到勾股数，因此如果能将其放到某一个三角形中，便可以应用勾股定理逆定理得到90°的直角，再看结论，恰好是要证明的150°角，正好是60°与90°之和，如果突破这里，问题便迎刃而解了.

解 将线段BO绕点B逆时针旋转60°到BD的位置（如图2）（或将BCO绕点B逆时针旋转至BAD的位置，使得BC与BA重合），则∠OBD = ∠CBA = 60°，且AD = OC = 5，从而得BOD为边长是3的等边三角形，OD = 4且∠BOD = 60°. 而在AOD中，由勾股定理逆定理得AOD为直角三角形，且∠AOD = 90°，从而∠AOB = ∠AOD + ∠BOD = 150°. 小结 这是一个关于旋转的典型题目，较好地体现了图形在旋转动态过程中对应边、对应角不变的性质，结合图形的几何特征，融合勾股定理逆定理、等边三角形等性质，对提升学生几何思维，经由发现问题、分析问题、综合应用数学知识来解决问题的过程，较好地锻炼和提升了学生的数学素养. 二、面积问题（旋转面积之和）

分析 AOB中只知道OA，OB两条边，求它的面积就需要求出其中某个边上的高，由例1我们知道∠AOB = 150°，延长AO，过点B作BEAO延长线于点E，则RtBOE中，OB = 4，∠BOE = 30°，由三角函数可以求得BE的长，从而AOB的面积可求.用同样的方法能否求得AOC的面积呢？请读者一试. 下面我们利用旋转构造新的图形来求.

小结 这里所求的是一个凹四边形的面积，可将其分割开来求，由前面方法的铺垫，AOB的面积易求，但是AOC的面积就显得不是很容易求得，通过旋转后，将待求的四边形转化为常规几何图形，化繁为易，值得推敲.

三、证明线段的和差关系（截长或补短问题）

例3 探究问题：

（1）方法感悟：

如图5，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF = 45°，连接EF，求证：DE + BF = EF.

感悟解题方法，并完成下列填空：

将ADE绕点A顺时针旋转90°得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB = AD，BG = DE，∠1 = ∠2，∠ABG = ∠D = 90°，

∠ABG + ∠ABF = 90° + 90° = 180°，

因此，点G，B，F在同一条直线上.

∠EAF = 45°，

∠2 + ∠3 = ∠BAD - ∠EAF = 90° - 45° = 45°.

∠1 = ∠2， ∠1 + ∠3 = 45°.

即∠GAF = _________.

又AG = AE，AF = AF， GAF≌_______.

_________ = EF，故DE + BF = EF.

（2）方法迁移：

（答案：DE + BF = EF.）

（3）问题拓展：

小结 线段和差的转化是依据图形的特征，应用旋转的方法达到目的，该类型的题目需要利用旋转解决，特别注意旋转以后必须要证共线，想想为什么. 由于题目具有很强的几何特征，比如有相等的边、互补的角等，同时依据旋转后图形的固有性质不变，牢牢把握这类性质是解决此类题目的关键.

四、正方形中的周长定值问题

例4 如图8，在平面直角坐标系中，等腰三角形AOB的顶点在第一象限，底边OB在x轴的正半轴上，且OA = AB = 10厘米，OB = 12厘米，动点C从点A出发，沿AO边向点O运动（点C不与点O重合），运动速度为1厘米/ 秒，运动时间为t秒. 过点C作CD∥OB交AB于点D，以CD为边，在点A的下方作正方形CDEF（如图8）.

（1）当t为何值时，EF在OB上？

（2）当边EF在OB边上时（如图9），连接正方形CDEF的对角线CE，将∠DCE绕点C按顺时针方向旋转（0°

分析 （1）动点问题，考察的是图形运动的特殊位置，利用相似三角形或直角三角形中的三角函数直接求解；

（2）利用转化的数学思想，将图形旋转，把三角形三边放到易求的某些特殊线上，可求解.

解 （1）t = 4.

（2）当t = 4时，EF在OB边上，此时正方形CDEF的面积为4.8，如图10所示，将CDG旋转至CFM的位置，使得边CD与CF重合，则CDG≌CFM，此时可得DG = FM，且点M，F，H三点共线，如图10所示，同时可证得CMH≌CGH（截长补短思想），则GHE的周长为GH + HE + EG，转化为MH + HE + EG，其和等于FH + DG + HE + EG，即2EF =9.6.

小结 在动态过程中，结合图形的位置是不断发生变化的，但是作为图形的一种整体运动，实质上保持了图形本身的内在属性，边相等，或角相等，或边角都相等，或边角同时都以某种规律增大或减小，而其相对性质保持稳定，这时候我们便可以借助这些属性加以求解. 此题巧妙地借助旋转，利用转化思想及截长补短的方法，证明了图形在动态过程中的某些属性的不变性.

五、存在性问题

分析 EFG作为一个整体元素进行旋转，在旋转过程中EG所在直线与射线AD、射线FB有交点，这里首先需要弄清楚在旋转的初始位置时，点G和点E在哪，与要求的射线AD、射线FB又有怎样的位置关系.这里通过计算可以得到刚开始旋转时，AF = 3，点E与点B重合，而点G恰好在射线AD上. 当EFG绕点F逆时针旋转时，则点G就会到射线AD左上方，同时点E会到∠MON内部；当EFG绕点F顺时针旋转，则点G会到∠MON内部，同时点E到射线FB下方，随着旋转角的增大，点G，F都有可能转到射线FB下方.

解 要使AMN为等腰三角形，则分别满足以下情况：

（2）AN = MN时，如图13，∠A = ∠AMN = 30°，则∠MNB = ∠FNE = 60°，而EFG是边长为3的等边三角形，所以∠FEN = 60°，且FE = 3，从而可得FEN是边长为3的等边三角形，即点G与点N重合，FN = 3，AN = AF + FN = 3 + 3 = 6.

（3）AM = AN时，① 如果位置如图14所示，则∠ANM = ∠AMN = 75°，EFG是等边三角形，则∠FEG = 60°，∠FEN = 120°，此时在NEF中，∠FNE + ∠FEN = 75° + 120° > 180°，与三角形内角和定理矛盾.

③ 如果位置如图16所示，∠ANM = ∠AMN = 75°，EFG是等边三角形，则∠FGE = 60°，可得∠FGN = 120°，由于∠FNM < ∠FGN，与三角形外角定理矛盾，故此种情况不存在.

小结 旋转涉及的存在性问题在以后的考试中题目难度会增大，但同时如果读者能够认真地分析旋转图形的内在联系，大胆地探索图形之间的因果联系，掌握其运动规律，对于分析解决运动类型的存在性问题，有着不可小觑的作用.

在初中数学学习过程中，几何的学习能够提高我们的思维学习能力.在几何解题中，常涉及的几何变换有对称、平移、旋转，而旋转作最为复杂的一种，不仅仅是从运动的角度揭示几何图形的变化规律，而且它的某些特性也是在这种运动过程当中才能体现的，因此我们不仅要知其然，更要知其所以然，在不断地锤炼中让数学思维得以更高的提升.