谈与角有关的集合问题

与角有关的集合问题在各类考试中是常考常新的题型，命题依据是以角为元素构成的集合具有特殊性，在求其子集、交集、并集或补集时要注意区间角与象限角的区别与联系，还要注意角度的周期性变化，解决这类问题时容易犯一些低级错误，在解答的时候，注意从基本概念入手，按照步骤严谨细致进行，多运用数形结合的方法。

1 子集

例题1.集合A={x|x=nπ2，n∈Z}∪{x|x=2nπ±2π3，n∈Z}，B={y|y=2nπ3，n∈Z}∪{y|y=nπ+ ，n∈Z}，则集合A与集合B的关系如何？

解析：集合A的终边所在位置如图1所示，一共有六种情况；集合B的终边所在位置如图2所示，一共有五种情况，且这五种情况在集合A中都存在。

因此，集合B是集合A的真子集。

点评：判断两个集合间的关系就是判断两个集合的相等关系，或者包含关系——子集或者真子集，本题采用了数形结合的方法，这种方法在解决这类问题时经常使用，要注意体会。

2 并集

例题2.已知函数y=a bcos3x（b>0）的最大值为32，最小值为-12，函数y= 4asin（3bx）取最大值和最小值时x的集合分别记作A和B，求A∪B。

分析：解决此问题的关键是通过已知条件确定a、b的值，然后根据函数y= 4asin（3bx）的表达式求出集合A和集合B，再求A∪B。

解析：y=a bcos3x，b>0

a+b=32 a-b=-12，解方程组得，b=1 a=12

函数y= 4asin（3bx）= 2sin3x.

此函数的周期T=2π3

当x=2kπ3-π6（k∈Z）时，函数y= 2sin3x取最大值2.

A={x|x=2kπ3-π6，（k∈Z）}；

当x=2kπ3-π6（k∈Z）时，函数y= 2sin3x取最小值-2.

B={x|x=2kπ3+π6，（k∈Z）}；

A∪B={x|x=2kπ3±π6，（k∈Z）}.

点评：三角函数的小综合题目是各类考试乃至高考的热点之一，对条件的合理转化和应用是解决该类问题的基本处理方向。

3交集

例题3.已知集合A={角x终边所在象限}，集合B={角θ终边所在象限}，且角3x是第三象限的角，角θ的终边过函数y=-2x与y= log0.5（-x）的两图象的交点，求A∩B。

解析：因为角3x是第三象限的角，所以1800+ k·3600

所以当k=3m（k∈Z）时，可得600+ m·3600

当k=3m+1（k∈Z）时，可得1800+ m·3600

当k=3m+2（k∈Z）时，可得3000+ m·3600

综上可知，角x是第一或第三或第四象限的角。

所以A={第一象限，第三象限，第四象限}

由题设知函数y=-2x与y=-log0.5（-x）的两图象的交点在角θ的终边上，设此交点的坐标为P（x，y），则y

所以B={第三象限}。

因此，A∩B={第三象限}。

点评：已知角nx是某象限的角，判断x（n∈N*）是哪个象限的角时，不能想当然地得到结果（如2x是第二象限的角，不能认为x就一定是第一象限的角），而应经过严密地推理得出结果，先把nx是第几象限的角用不等式表示出来之后，再对k进行分类讨论得出结果，或对角x的取值范围进行结构分析，利用数形结合求解。在求集合B时，关键是要判断函数y=-2x与y=-log0.5（-x）的两图象的交点在第几象限。

4 补集

例题4.已知集合A={x|cosx> 0.5}，集合B={x| y=cosx+-tanx}，求 AB.

分析：集合A形式上好象是“三角不等式”，似乎很难解决，但是我们通过三角函数线或者三角函数图象用数形结合的方法是都能解决的。集合B实际上就是函数y=cosx+-tanx的定义域。将两个集合化简后再求AB.

解析：首先化简集合A，如图所示：

（1）画单位圆；

（2）作直线x=-0.5交单位圆于两点P1、P2，交x轴于点M，连接OP1、OP2；

（3）则OM为余弦线；

（4）找余弦线大于-0.5的部分，所以集合A={x| 1200+ k·3600

其次化简集合B， 据题意，得cosx≥0且-tanx≥0，由cosx≥0可知角x的终边所在的集合是M={在y轴上，在第一象限，在第四象限，在x轴的非负半轴上}；由-tanx≥0可知角x的终边所在的集合是N={在第二象限，在第四象限，在x轴上}。函数的定义域B=M∩N={在第四象限，在x轴的非负半轴上}={x| -π2+2kπ

最后求AB={x| k·3600

点评：函数的定义域是函数概念的三要素（定义域、值域、对应法则）之一。定义域是关键，一定要注意使得函数的每一部分都有意义，不能遗漏，把所有的等价条件都列出，找各个集合的交集，即得函数的定义域。在求定义域的时候，我们很快能得到cosx≥0且-tanx≥0，但容易忽略的一点是，把正切函数本身的限制条件给忘了。