二次根式考点例析

在中考中，单独的根式问题，多以填空题或选择题的形式出现，与分式、勾股定理、一元二次方程等知识结合的根式问题一般以解答题的形式出现?郾

考点1 二次根式的概念

【考点解读】形如■（a≥0）的式子叫做二次根式?郾 判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣概念，看所给式子是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号“■”；（2）被开方数a≥0?郾 二者缺一不可?郾

【命题走向】 本考点主要考查二次根式的被开方数a≥0的隐含条件，常与求函数自变量的取值范围结合在一起考查?郾

例1 （1）（2011年凉山卷）已知y=■+■-3，则2xy的值为（ ）?郾

A?郾 -15?摇?摇 B?郾 15?摇?摇 C?郾 -■?摇?摇 D?郾 ■

（2）（2012年万宁卷）函数y=■+■的自变量x的取值范围为（ ）?郾

A?郾 x≥-2?摇?摇 B?郾 x＞-2且x≠2?摇

C?郾 x≥0且x≠2?摇?摇 D?郾 x≥-2且x≠2

解：（1）由题意，得2x-5≥0，5-2x≥0?郾

解得x=■?郾 从而求出y=-3，所以2xy=-15?郾 选A?郾

（2）由题意，得x+2≥0且x-2≠0，解得x≥-2且x≠2?郾 选D?郾

温馨小提示：二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0. 解这类题的步骤是：①列出不等式（组）；②解不等式，分别求出它们的解集；③取每个解集的公共部分?郾 特别注意，当分母中含有二次根式时，被开方数的取值不能使分母为0?郾

考点2 最简二次根式与同类二次根式

【考点解读】 最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式?郾 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称它们是同类二次根式?郾

【命题走向】 本考点主要以选择题的形式出现?郾

例2 （2011年上海卷）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）?郾

A?郾 ■?摇?摇 B?郾 ■?摇?摇 C?郾 ■?摇?摇 D?郾 ■

解：■=■，■=■=■，■=5■，它们都不是最简二次根式?郾 选C?郾

温馨小提示：对于最简二次根式的判断，根号内含有小数和分母中含有根号的式子都不是最简二次根式，如■和■都不是最简二次根式?郾

考点3 二次根式■≥0（a≥0）的应用

【考点解读】 二次根式■（a≥0）的结果是一个非负数，即■≥0?郾

【命题走向】 本考点常与绝对值、实数的偶次方结合在一起，考查非负数的性质?郾

例3 （2012年荆州卷）若■与|x-y-3|互为相反数，则x+y的值为（ ）?郾

A?郾 3?摇?摇 B?郾 9?摇?摇 C?郾 12?摇?摇 D?郾 27

解： ■与|x-y-3|互为相反数，

■+|x-y-3|=0?郾

又 ■≥0，|x-y-3|≥0，

x-2y+9=0，x-y-3=0?郾解得x=15，y=12?郾

x+y=15+12=27?郾 选D?郾

温馨小提示：对于一个方程中有多个未知数的问题，由于a2，|a|，■都是非负数，即a2≥0，|a|≥0，■≥0?郾 可利用“非负数之和为零，则每一个非负数都为零”建立方程组求解?郾

考点4 （■）2=a（a≥0）与■=|a|=a（a≥0），-a（a＜0）的应用

【考点解读】运用公式（■）2=a（a≥0）时，要注意a的取值范围及公式的逆用；根据■=|a|=a（a≥0），-a（a＜0） 化简时，先确定a的取值范围，再去绝对值?郾

【命题走向】 本考点常与数轴结合在一起进行考查，兼顾考查数形结合思想?郾

例4 （2012年张家界卷）实数a、b在数轴上的位置如图1所示，且|a|＞|b|，则化简■-|a+b|的结果为（ ）?郾

A?郾 2a+b?摇?摇 B?郾 -2a+b

C?郾 b?摇?摇 D?郾 2a-b

解：由数轴可知，a＜0＜b，又|a|＞|b|， a+b＜0?郾

■-|a+b|=-a-［-（a+b）］=-a+a+b=b?郾 选C?郾

温馨小提示：从数轴上获取a＜0，a+b＜0等信息是解题的关键?郾

考点5 估算及大小比较

【考点解读】 估算■的大小时，关键是要找到与■相邻的两个整数?郾

【命题走向】 估算一个无理数的取值范围或进行实数的大小比较，是新课标的基本要求，是近年中考命题的热点?郾

例5 （2012年济宁卷）如图2，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）?郾

A?郾 -4和-3之间

B?郾 3和4之间

C?郾 -5和-4之间

D?郾 4和5之间

解： 点P的坐标为（-2，3），

OP=■=■?郾

点A、P均在以点O为圆心，OP为半径的圆上，

OA=OP=■?郾

9＜13＜16，

3＜■＜4?郾

点A在x轴的负半轴上，

点A的横坐标介于-4和-3之间?郾 选A?郾

温馨小提示：本题考查勾股定理及估算无理数的大小，利用勾股定理求出OP的长是解此题的关键?郾

考点6 二次根式的运算

【考点解读】 （1）乘法法则：■·■=■（a≥0，b≥0）?郾 反过来，■=■·■（a≥0，b≥0）?郾 此法则可以推广到多个二次根式相乘?郾 要注意被开方数均为非负数?郾

（2）除法法则：■=■ （a≥0，b＞0），反过来，也有■=■ （a≥0，b＞0）成立?郾

（3）二次根式的加减，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并?郾

（4）二次根式的混合运算，其运算顺序与整式的混合运算顺序相同，先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号内的?郾

【命题走向】二次根式的运算是二次根式的重点，综合性较强，突出运算能力、综合分析能力的考查?郾

例6 （2012年聊城卷）在如图3所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是■和-1，则点C所对应的实数是（ ）?郾

A?郾 1+■?摇 B?郾 2+■

C?郾 2■-1 D?郾 2■+1

解：设点C所对应的实数是c?郾 则有c-■=■-（-1），解得c=2■+1?郾 选D?郾

温馨小提示：要熟练掌握二次根式的运算顺序，同时要注意运算法则的灵活运用?郾

考点7 二次根式与分式等知识的综合运用

【命题走向】二次根式与分式的综合运用，通常是以分式的化简与求值的形式出现?郾

例7 （2012年襄阳卷）先化简，再求值：■÷（a+■）·（■+■），其中a=■+■，b=■-■?郾

解：原式=■·■·■=-■?郾

当a=■+■，b=■-■时，

原式=-■

=-■=1?郾

温馨小提示：这类问题以分式的化简和计算为主，化简分式是解题的关键?郾 在计算（■+■）（■-■）时，使用平方差公式较简单?郾 ■