复合二次根式的化简

一般地，我们把二次根式的被开方数中套有二次根式的式子称为复合二次根式，即形如a±cb（其中a，b，c表示有理数）的式子，如9+45、4-23等都是复合二次根式.

在竞赛试题中，有时我们会遇到将复合二次根式化简的问题.下面我们介绍四种化简复合二次根式的方法，供读者参考.

1配方法

通过配方，把根号下的式子写成一个完全平方式，从而把根号内的式子移到根号外，达到化简二次根式的目的.

1.当c=2时，如果能找到两个正数x，y（其中x>y），且使这两个正数的和为a，积为b，则a±cb=x±y.

例1化简11-230.

解11-230=（6）2-26×5+（5）2=6-5.

2.当c是大于2的偶数时，可以把c中除了2以外的因数移到根号里面，从而转化为情形1.

例2化简9+62.

解9+62=9+218

=（6）2+26×3+（3）2=6+3.

3.当c=1时，可以先把根号内式中各项都乘以2，再将各项代数和除以2，从而转化为情形1.

例3化简3-5.

解3-5=6-252=6-252

=（5）2-25+122=（5-1）22

=5-12=10-22.

4.当c既不是1也不是偶数时，可以先把c移到根号里面，从而转化为情形3.

例4化简14+53.

解14+53=14+75

=28+2752=28+2752

=（25）2+2×5×3+（3）22

=（25+3）22=5+32=52+62.

2待定系数法

设a±cb=x±y，然后将两边平方，利用对应项的系数相等列出方程，求出x，y的值，从而将复合二次根式化简.

例5化简6-33.

解设6-33=x-y（其中x，y是有理数），

两边平方，得6-33=x+y-2xy.

利用对应项的系数，得x+y=6，2xy=33（即4xy=27）.

解方程组x+y=6

4xy=27，得x=92

y=32.

所以6-33=92-32=322-62.

3共轭根式法

两个根式的积与和都为有理式，这两个根式就互为共轭根式.如a+cb与a-cb（其中a，b，c表示有理数）是一对共轭根式.在化简复合二次根式时，可以借助它的共轭根式，然后求出这一对共轭根式的平方和与积，最后通过解方程组求出复合二次根式的值.

例6化简7-212.

解7-212的共轭根式是7+212.设7+212=x，7-212=y，则

x2+y2=（7+212）+（7-212）=14，

xy=（7+212）（7-212）

=72-（212）2=49-48=1.

所以（x+y）2=x2+y2+2xy=14+2=16，（x-y）2=x2+y2-2xy=14-2=12.

显然x+y>0，x-y>0.所以

x+y=4，①x-y=23.②

①-②，得2y=4-23.所以y=2-3，即7-212=2-3.

4公式法

设a+cb=x+y（或a-cb=x-y，其中x>y），两边平方，得a+cb=x+y+2xy.利用对应项的系数相等，得x+y=a，cb=2xy（即bc2=4xy）.

解方程组x+y=a

4xy=bc2，得x=a+a2-bc22

y=a-a2-bc22.

所以a±cb=a+a2-bc22±a-a2-bc22.

上面两个公式就是化简复合二次根式的公式.

例7化简19-83.

解在19-83中，a=19，b=3，c=8，由化简复合二次根式的公式，得

19-83

=19+192-3×822-19-192-3×822

=19+172-19-132=4-3.