拒绝教条,教学相长

在中考总复习中，长期奋战在一线的教师经常会遇到类似的困惑，即为了挑选所谓的综合题进行磨炼和评讲，不知不觉中成了历年中考压轴题的搬运工。但是如果我们过于迷信中考题的标准答案，演变成“拿来主义”，在实际教学中，往往不能达到预期的目标和效果，从而陷入就题论题的教条之中。相信很多同行和我相似的经历，曾经不止一次被我们的学生的另类解法所震撼，在挑战教师尴尬的权威的同时，促进了教师自身业务水平的提高，并在无形之中对我们提出了更高的要求。

多年来，我已经养成这样一个习惯，凡是要和学生讲的例题或是布置给学生的作业，我都不敢马虎，必须得自己完完整整地做一遍，我对一些全国各地交流的优秀中考题，不是过分迷信其标准答案，而是追本溯源，举一反三，在避免了题海战的同时，进一步提高学生灵活解题的能力，充分肯定学生的奇思妙想，真正做到教学相长。

下面是我整理了近年来几道不仅形似而且神似的压轴题，略作剖析，希望和大家一起探讨。

题1（上海2012年中考压轴题）：如图1，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分别为D、E。

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x，DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域.■

此题是上海市2012年中考数学最后一题，解答此题需要一定的综合能力。在此基础上，师生双方都要对该题作出完整的独立的思考。对教师而言，不仅要有清晰的理解题意，而且应该站在理论的高度，深入剖析，钻研各种变化。而对学生而言则要求通过自身的努力，做一些思维上的初步加工，并形成自己的认识和想法。

一、教师的初步印象

初步浏览后，我对此题的第一感觉就是似曾相识，仔细查找后发现，竟然和2008年广州中考最后一题有着惊人的相似，而广州的2008年的压轴题也就是上海2000年中考压轴题的连续剧。本题不仅考查了圆的知识，同时渗透了几何的相关定理，并结合了动点和函数，应该说是一道完完整整的综合题。通过详细分析后发现，第一问考查了垂径定理和勾股定理，比较容易解决。第二问考查了垂径定理和三角形中位线定理。但对于线段AB的长度是个定值，不是图上现成的，恐怕会对学生造成一点麻烦。第三问则要求更高，对动点C的正确理解成了本题的关键所在。即点C在运动的过程中，我们必须得看清图中，哪些在变，哪些是不变的。除了找出半径OA，OB，以及线段DE不变之外，最大的困难恐怕就是判断出∠EOD的大小是定值。这样在OED中，已知两边和一个特殊角，本题就可以迎刃而解。

二、充分了解学生的困难

我们都知道，学生对圆这一章的知识的掌握，都是在整个圆里获得的，对半圆已经有很多的不适应，更不用说四分之一的圆。第一问，已经对一小部分学生造成困难，就是和书上垂径定理的那张示范图对不上号。第二问的定值，学生基本能排除线段OD和线段OE，但在求线段DE的时候有些束手无策。究其原因，不外乎两个，其一，没能发现中位线。其二，对线段AB的长度是个定值，没有清晰的认识。而第三问则是要求在第二问的基础上完成的，能力较好的学生也是在适当提醒∠EOD是定值的情况下完成的。

三、抛砖引玉，适度链接

如果此时就题论题，其效果恐怕微乎其微。此时我随即推出了2008年广州中考压轴题，取得了意想不到的效果。两张极为接近的图，立即在学生中引起了不小的骚动。

题2（2008广州中考题）：如图2，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是■上异于A、B的动点，过点C作CDOA于点D，作CEOB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE。

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；

（2）当点C在■上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；

（3）求证CD2+3CH2：是定值。■

四、积极参与，收获颇丰

本题和2012上海的中考题有着太多的相似，如果能互相渗透，可以说是对本类知识体系的一种补充和拓展，相信会取到事半功倍的效果。

第一问，几乎在每个版本的新教材上都有这样的例题，只不过把平行四边形（图3）改成了矩形（图4），把条件EH=DG改成了EH=HG=DG，就得到了图2中的矩形，所以很快就解决了。■

让人感到欣慰的是学生对第二问的挑战，除了在第一时间能发现半径OA，OB是定值之外，还能分析到随着点C的运动，线段CD在变化，排除了CD后，就剩下线段CG和线段DG。学生能这样思考，说明其已经初步具备了分析问题的能力，应该肯定。而点G和点H是线段DE的三等分点，所以不难发现DE是矩形ODCE的对角线，它等于OC，从而联想到对角线OC就是半径。第二问的成功解决，给学生带来了更多的信心。对于解决第三问，说实话我对学生没抱太多的希望。但应该收获的是对该图的完整认识，找出图中所有变与不变的线段，是我提示的第一问，结果比较令人满意。而现在探讨的线段CD和线段CH的关系，两条都在变化的线段，可以联想到数学中的什么知识点呢？这是我提示的第二问。学生也能迅速想到是一种函数关系，线段CH随着线段CD的变化而变化，可以设CD=x，则CH2=4—■x2。

五、集思广益，教学相长

在探讨函数关系的变量时，有学生无意中提到角度在变。我重新审视了一下原图，那不是三角函数吗？不妨设∠CDE=α，则CD=3COSα，CE=3sinα，CH2=（2sinα）2+（cosα）2，利用三角函数的有关性质，能巧妙解决此问。我能有这样的意外收获，真得好好感谢学生的提醒，说明群众的智慧是无穷的。

六、趁热打铁，完美结合

在学生为自己的发现而兴奋的时候，我摆出了题3（上海2000年中考数学压轴题）如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PHOA，垂足为H，OPH的重心为G，当点P在AB上运动时，线段GO，GP，GH中，有无长度保持不变的线段？如有，请指出这一的线段，并求出相应的长度。■

有了题2的铺垫，学生的思路完全打开了，对此图形已经有了清晰的认识，很容易想到把图5转换成图6后，问题就变得轻松而简单了。■

有了这两题作为铺垫，我再把题1重新放到了学生面前。此时，学生对这张图不再那么陌生，由此为我的讲解开了一个很好的头。对于第一问，学生从BC是弦，ODBC，很容易想到垂径定理与勾股定理来解决；对于第二问中的不变量，学生马上看刚才的题2，由题2的铺垫，也马上想到了连接AB，运用三角形的中位线来证明；本题的第三问是难点，我提示了第一点：由BD与OB可以表示谁？然后我提示他们第二点：ODE中DE不变，∠DOE是个什么角？学生观察后猜测是45°，很容易想到连接OC，知道了一个角与一条边，想到了作OE上的高DF，由此，图1转换成图7。接下来，学生做起来就很轻松了，马上想到运用三角函数和勾股定理求出OF与EF、DF，这样，ODE的面积迎刃而解。■

总之，在新课程理念下，如何发挥习题资源的作用，对我们每一位数学教师提出了更高的要求，迫使我们认真钻研，不断提高自身的业务素养，把握住习题“源于教材，但高于教材；题在书外，根在书内”的要领。教师应不断尝试把相关的知识点作重新整合，彻底改掉多年以来养成的搬题，报答案的陋习，实实在在地精选组合习题，不断提高课堂教学的实用性，真正体现有效教学。把新课程改革的理念落到实处，师生共同参与，乃是培养学生数学能力，提高数学品质的一种质朴而有效的方法。

（责编 高伟）