基于误差模型的体育测量可靠性基本理论

摘要： 为了完善体育测量可靠性的理论体系，运用统计学的基本原理，具体分析了关于可靠 性的一般误差模型、测验的误差模型和随机样本误差模型，从统计推断的角度讨论了体育测 量可靠性的统计学定义、总体可靠性系数的度量方法和具体形式以及可靠性检验的基本方法 ，并明确指出了各种检验方法的适用条件。

关键词：体育测量；可靠性；统计推断；误差模型

中图分类号：G804.49文献标识码：A文章编 号：1007-3612(2007)05-0651-03

经典测量理论的基础是误差模型，体育测量科学性的基本理论(非参数方法除外)是建立 在误差模型基础之上的统计推断理论，深刻理解测量“三性”的误差模型、掌握其统计推断 原理和方法是学习和正确运用体育测量理论的关键。本文拟针对体育测量的可 靠性理论，通过对各类误差模型的具体分析，讨论其统计推断的原理和方法。

1总体误差模型与可靠性定义

对任意一个个体，设其真值为T，测量值为X，测量误差为e，则误差模型［3］为 ：

模型假定：e与T是独立的，即测量误差大小与个体无关。

模型(1)是测量理论中最基本的误差模型，是测量理论的基础，建立在此基础之上的可 靠性定义具有最一般性。定义可靠性系数［2］为：

其中σX2是测量值的方差，σT2是真值方差，σ2为测量误差方差。

模型(1)是最一般的误差模型，对于不同类型的测验(尤其是对于重复测量)，误差模型 的形式也不一样。

2测验的误差模型与可靠性度量

关于测验的总体，测验的频数等概念在文献［3］中已有具体阐述，我们按测验的两 种基本类型分别讨论其误差模型及可靠性的度量。

2.1频数等于1的测验 如果测验的频数等于1，即测验本身只有1次测量，但在检验测验可靠性时，需要进行若 干次重复测量，我们根据重复测量次数的不同，分“两次重复测量”和“多次重复测量”两 部分讨论。

2.1.1两次重复测量对于测验总体内的任意一个个体，真值为T ，两次测量值分别为X和X′，则两次测量的误差模型为其中e和e′为测量误差，并且与T独立。

记X与X′之间的相关系数为ρ，可以证明［5］

(4)式说明，对于频数等于1的测验，两次重复测验值之间的相关系数即为测验的可靠性 系数。 2.1.2多次重复测量设重复测量次数为m(m≥3)，则m次重复测 量的误差模型为

其中ei(i=1, 2, …, m)的均值为0，方差为σ2，并且ei与T独立。因此Var(Xi)=σT2+σ2i=1, 2, …, m (6)即σX2=σT2+σ2投稿日期：2005-06-03基金项目：安徽省教育厅人文社科项目（2001JW118）。作者简介：魏登云(1963-)，男，安徽肥东人，硕士，教授，硕士 研究生导师，研究方向体育计量学的理论与实践。可见，可靠性系数依然为：R0=1-σ2σX2=1-σ2σT2+σ2(7)

其中σX2是一次测量值的方差。

(7)式说明，对于频数为1的测验，可靠性系数是一次测量的可靠性系数(总体可靠性系 数)。

2.2频数大于1的测验 设测验的频数为k(k>1)，并且假定测验值是k次重复测量值的均值。类似于模型(5)，有从而其中。

易见e与T独立，并且e的均值为0，方差为σ2k， 则σ2X=σT2+σ2k( 9)X为测验值，因此(8)式即为频数为k的测验的误差模型，可靠性系数为公式(10)给出了在误差模型(8)之下，频数为k的测验的可靠性系数的度量方法。

公式(4)、(7)、(10)给出的均为总体可靠性系数，应用中需要借助样本对总体可靠性系 数进行估计，即可靠性检验。

3随机样本的误差模型与可靠性检验

3.1随机样本的误差模型 设有来自测验总体的n个个体，个体真值为Ti（i =1, 2, …, n），每个个体均有m次重 复测量值则便是 来自测验总体的一个样本，误差模型为m(11)其中误差eij与真值Ti独立，且,)的均 值为0，方差为σ的方差为。令，则由模型(11)还可以看出

3.2有关参数的估计样本数据列于表1。

为了检验可靠性，需要对误差方差σ2和真值方差σ2T作出估计。

根据误差模型(11)可知，是的无偏估计，即由公式(14)得从而即E(MS内)=σ2(15)公式(15)说明，组内方差MS内是误差方差σ2的一个无偏估计量。

根据公式(13)可以看出，是的一个无偏估计量，即结合公式(15)和(16)，可以得到σT2的一个无偏估计量σ^T2=1mMS间-1mMS 内(17)

3.3可靠性的检验 有了σ2的估σT2计量之后，我们来考虑对总体可靠性系数的估计，估计方法与原始 数据中重复测量次数有关。以下按重复测量次数分两种情况。

3.3.1两次重复测量 如果原始数据来自对n个个体的“测量――再测量”，则根据(4)式，对于频数等于1的 测验，可用样本相关系数r估计总体可靠性系数［2］，即R0^=r(18)

对于频数为k(k>1)的测验，可用斯皮尔曼―布朗公式预测可靠性系数［6］

3.3.2多次重复测量 若原始数据来自于对n个个体的m(m>2)次重复测量，测量数据如表1。设测验的频数为k( k≥1)。根据公式(10)、(15)和(17)，得可靠性系数的估计量内

由上式不难看出，若测验的频数等于1，即k=1，则R^0=MS间-MS内MS间+(m-1)MS内

若测验的频数等于m，则R^0=MS间-MS内MS间=1-MS 内MS间(

值得注意的是：在不少文献中，频数等于1的测验，可靠性系数估计量用如下公式R=1-MS内MS总 (23)在文献［2］中已经证明了上式估计量是总体可靠性系数的一个相合估计，即在大样 本情况下，公式(23)才可以作为总体可靠性系数的估计量。对于小样本，公式(23)是不合适 的。事实上，MS总=n(m-1)nm-1MS内+n-1nm-1MS间

由公式(15)和(16)知即MS总是σX2的有偏估计，而且是偏小。因此，(23)式给出的估计量是总体可靠性系 数的一个有偏估计，而且重复测量次数m越大，估计的偏差越大。只有在样本含量n很大时， 偏差才较小。

4结论

借助于基本的误差模型，给出了体育测量可靠性的统计学定义；通过对重复测量误差模 型(即测验的误差模型)的分析，给出了总体可靠性系数的度量方法，针对不同类型的测验， 总体可靠性系数有不同的表现形式；考虑随机样本的误差模型，论证了总体可靠性系数中有 关参数的估计方法，在此基础上给出可靠性检验的具体方法。可以看出，误差模型是体育测量可靠性理论的基础，如果缺少对误差模型的详细分析， 那么建立在此基础之上的可靠性理论体系就难以充实和完善，甚至会出现错误。

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