小学数学概念实质分析

【编者按】数学概念是数学教学的基石。在部分教师的眼中，概念教学不过是一种机械的教授与训练的结合体。而实际上，较为妥帖的认识是，数学概念的教学应融入学生的探索活动，应从探索活动开始，然后形成语言，最后提升为数学概念。学生应像数学家一样“创造”数学概念。“教学平台”从第11期开始，分两期与读者共同探讨“简约而不简单的概念教学”。

理解并掌握数学概念的核心是把握概念实质，而不仅仅掌握概念形式的、描述的定义。就如学生会说“物体所占空间的大小叫物体的体积”不等于学生理解“体积”这个概念，教师把握数学概念的实质非常重要。小学数学所涉及的概念类型、层次各不相同，笼统地论述“数学概念的实质”既论述不清也没有意义，一个重要方法是按照概念的类型分别论述某些数学概念的实质。自然数是小学阶段的一个重要内容，在小学阶段没有哪本教材给出“什么是自然数”的定义（一般地，大多数教材在四年级会给出这样的描述来揭示其内涵：表示物体个数的1、2、3、4、5、6等都是自然数。一个物体也没有用0表示，0也是自然数。所有的自然数都是整数）。但作为教师必须更进一步、较为系统地了解自然数的内涵与实质，本文以自然数为例展开。

一、 自然数的现实意义

自然数概念的内涵是丰富的，弗赖登塔尔提出――数的概念的形成可以粗略地分成以下几种：计数的数、数量的数、度量的数以及计算的数；而对于数学自身的发展而言，“计数的数”（序数）意义更大，他认为无论从历史的、发生的还是从系统的角度看，数的序列都是数学发展的基石。在此基础上，我们可以进一步细化、深入地认识每一个自然数的实质与意义。

首先看自然数的现实意义。每一个自然数的现实意义都极为丰富，其最基本的意义有两个――基数与序数。例如自然数5，既可以表示某个集合的元素个数，（即自然数的数量数含义），也可以表示物体的位置和顺序（即自然数的序数含义）。

在小学的低、中阶段自然数的这两方面（基数与序数）的教学价值非常大，但在教学实践中往往忽视了“序数”教学的价值，仅仅停留在“第几”的层面上，缺少对数学本身意义的挖掘，就如学生对“计数的数”的理解是“探索规律”教学的基石。

进一步拓展，我们可以知道自然数还有以下含义：1. 度量数。从某种意义上说，数量数是度量数的特例，度量数是数量数的扩充。数量数刻画的是离散量（集合的元素）的个数多少，度量数刻画的是连续量的大小问题，由于连续量是可以无限分割的量，因此为了更准确地测量出某个量到底有多大，就需要产生更小的测量单位，如果以最小的测量单位（或者同时用多个测量单位表示）作测量结果的单位，用自然数表示就足够了，但表达和交流时会非常麻烦，为了更恰当地表示测量结果，就必须产生新的数――分数（但现实生活中表示量的大小通常用有限小数来表示，便于直观感知量的大小，便于沟通交流，这是由现行的十进制计数系统导致的），这是从自然数扩充到有理数的重要现实动力。另外，为了使自然数的减法满足封闭性，就必须将自然数集扩充到整数集，为使自然数的除法满足封闭性，就必须将自然数集扩充到有理数集，满足运算的封闭性也是数域扩充的重要数学动力。2. 比率数。自然数还可以表示两个量（数）之间的比率关系。3. 计算的对象或结果。任何一个自然数都可以是计算的对象或计算的结果。4.数轴上的“点”。每一个自然数（每一个实数）都与数轴上的点建立一一对应关系。5. 用做编码的符号。任何一个自然数都可以用来编码。6.特别地还要强调“0”有以下几点意义――“0”是一个概念，它表示“一个也没有”；在位值制记数法中，“0”表示“空位（计数单位的个数是0个）”，起到占位作用；“0”是一个数，可以同其他数参与运算；“0”是标度的起点或分界。

二、自然数的数学意义

自然数除了上述现实意义外，还有其数学意义，数学意义就是从其作为一个“数”本身的角度看“数”的内涵，任何一个数都是 “计数单位与其个数乘积的累加就得到的”。“计数单位”及其“个数”是构成数的核心要素，真正认识一个数必然要认识这个数所涉及的计数单位，在小学阶段“分数”与“小数”都分两次学习，第一次学习仅是“初步认识”，第二次学习才是“意义”层次的学习。

由于自然数是用“十进位值制记数法”记录的，所以计数单位是“1、10、100……”不同计数单位与其个数的累加就构成了全部的自然数（某个计数单位的个数为“0”时，也要写出“0”，即0的“占位”作用），例如，2034=2×1000+0×100+3×10+4×1，或者写成2034=2000+30+4，即自然数的拓展式。小数也是“十进位值制”的，增加小数的计数单位“01、001、0001……”后，其累加的过程与自然数的过程基本相同，只不过有“有限次累加”与“无限次累加”两类，有限次累加就得到“有限小数”，无限次累加又分为两种情形，其一是，不同计数单位的“个数”是有规律地出现的，如果计数单位的个数的情况复杂，没有规律，则无限次累加的结果是“无限不循环小数”，即无理数。

同样，分数也可以看成是“分数单位的累加”，这不仅延续了自然数的认识，又为进一步理解分数的性质以及分数的加减运算打下了坚实的数学基础。从这个角度来认识分数就使学生能够真正理解为什么同分母分数加减只需要“分子相加减而分母不变”，而异分母分数加减法则必须“先通分，然后再分子相加减，分母不变”，从而进一步理解“加减法计算的本质就是相同计数单位‘个数’相加减”，“通分的本质就是寻找两个分数的相同计数（分数）单位”，这也是分数的通分、约分和扩分（寻找等值分数）的理论依据。

最后简要回答“0”为什么是自然数？“0”是自然数的意义是什么？实际上很难回答“0为什么又是自然数”，简单可以说是“规定”的，是修正后的皮亚诺自然数公理中规定的，皮亚诺自然数公理规定“1”是第一个数，修正后规定“0”是第一个数。而规定“0”是自然数则意义重大。例如，用“0”来描述“空集”所含元素的个数，那么所有的自然数（包括0）就能完整刻画“有限集合元素的个数”问题；0作为自然数集合的第一个数，每个数的后面都紧跟着一个确定的数，可以把所有的自然数一个紧跟一个地排成一列数，既不重复也不遗漏等。

三、自然数蕴含的数学思想：十进制与位值制

为了表示出一个“自然数”，在历史上曾经出现过五进制、十进制、二十进制、六十进制，但最多的是以10为数基的十进制。

古埃及记数法中有“十进制”却没有“位值制”的思想，如果需要记录更大的数就必须产生表示更大单位的“新符号”，但有位值制思想后，则用有限个“符号”就能表示出无限的数，例如在“十进制”前提下只需要10个符号就能表示出所有的自然数。

但十进位记数法，离十进位值制计数法还有关键的一步要走，即“位置值制（简称‘位值制’）”。所谓“位值制”，是指相同的记数符号由于所处的位置的不同而可以表示大小不同的数目。由于有了位值制，就可以用有限的几个数字表示出无限多个自然数，这是记数历史上的一个奇迹。

用十进位值制记数法来表示数意义巨大，一是便于比较两个自然数的大小，自然数大小比较时首先看自然数的位数，位数越多则这个数越大。二是更便于数的计算，例如所有的加减法做的不外乎都是“20以内的加减法”，只不过“计数单位”不同，乘除法做的则都是“表内乘除法”。

四、无限集合的个数问题

学习自然数除了前面所论述的现实意义、数学意义以及所蕴含的十进制、位值制思想外，还有一个重要问题即自然数集合的元素个数问题，这个问题推动了近代集合论的发展。

对于无限集合，部分可以和全体相等，核心是建立两个集合元素之间的“一一对应”关系，如果两个集合之间的元素能够建立“一一对应”关系，则这两个集合元素的个数是相等的。因此伽利略的困惑就不难解决：从自然数集合中抽出完全平方数组成集合，当集合为有限集时，自然数集中元素的个数多于完全平方数集合中元素的个数；当集合元素为无限时，两个集合元素个数一样多只需要建立两个集合元素之间的一一对应关系。

在小学阶段我们可以让学生直观地感受到“真分数的个数与假分数的个数也一样多”，但不能用数轴上的点来表示分数，如果用数轴上的点表示分数会错误地认为“假分数的个数多于真分数的个数”。为了让学生直观地感受真分数与假分数的“一一对应”需要将全部分数在“平面”上一个一个地列出来，即构造出“分数表”，列表的规则是：从下向上数第一行中每个分数的分子是1，分母分别是1、2、3、4……第二行中每个分数的分子是2，分母分别是1、2、3、4……第三行中每个分数的分子是3，分母分别是1、2、3、4……以此类推就构造出分数表，在这个分数表中能直观地感受到有一个真分数就一定有一个假分数与之对应，由此可以让学生初步感受无限集合的神秘之美。

（作者单位：北京教育学院）