想象力如何在数学探索性活动中培养

我们知道，在数学家的工作中，猜测几乎总是走在证明的前头.《课程标准》在数学的地位中明确指出“数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用.”培养学生在探索性活动中的想象力有助于发展学生的创新精神和实践能力.

一、数学发现发明探索性活动中的想象力

数学探索性活动都要经历发现问题，提出假设，验证猜想的阶段，这个阶段有着不确定性，就是这不确定性体现了数学活动的创造性.

牛顿发明微积分是从探索运动物体的即时速度开始的，当时只知道平均速度，他让时间从t0变到t1这段时间记为Δt=t1-t0，这段时间物体走过的距离记为Δs，比值Δs/Δt是在Δt这段时间内的平均速度.牛顿对这个问题的探索不是逻辑推理，而是合情推理，即“合理”的设想：Δt越小，Δs/Δt应当越接近物体在时刻t0的即时速度.当Δt越来越小，当然Δs也越来越小的时候，最后就成为无穷小，即就要成为0而还不是0的时候，比值作为两个无穷小之比，就应该是所要的即时速度.

这个分析的过程，完全不是严格的逻辑推理，仅仅是合乎情理的，符合通常思考习惯的探索活动，最终得到的结论仅仅是一个猜想.然而，最终形成的精妙绝伦的微积分学理论正是从这个猜想开始的.

二、中学生数学学习探索性活动中的想象力

数学的探索活动并不限于数学的研究领域，在数学学习活动中也广泛存在，也更需要发挥想象力的作用，进入全新的数学构思，让主观能动性与创造性大显神通.

例如，中学生学习三角形三边关系时，用各种长短不一的小棒做拼组三角形的实验与内角和实验，教师让他们做出形状各异的各种三角形.再把每个三角形三个角剪下来，拼起来，量一量，最后让他们提出三角形内角和的猜想：三角形的内角和等于180°.在证明这个猜想时，让学生结合刚才的实验，寻找证明的思路，实际上是如何添置辅助线将三个角移到一起去.于是学生经过多次实验，提出各种不同的办法，辅助线如何添也是合理猜想的结果.

几何图形的想象中，比较困难的部分，是证明几何题过程中对“辅助线”的预见和识别.添加和使用辅助线都需要靠想象，首先必须在头脑中想象它的存在，然后思索它与已知条件以及求解目标之间的联系，带有一定程度的创造性，因而的确是一个探索过程，一个猜测的过程.

在立体几何中和用数形结合的思想解决非几何问题时，都是运用“几何想象”的过程.

再例如：“立体图形的展开图”长方体尽管是立体图形中最基本的几何形体，但在学生头脑里却是由平面思维跨入立体思维领域的第一步.本课设计如下问题：

1.选择部分有代表性的展开图，包括可以和不可以折成正方体的，让学生动手剪下后“折一折”，感知某些展开图“能够”或“不能”折成正方体，并思考为什么.是否所选的平面图形都能折叠成多面体.

2.观察你手中的正方体,想想看,它的平面展开图一样吗?动手做一做,把一个正方体的面展开，需要剪几刀(沿着一条棱剪开算一刀)？

3.请同学试试看.把得到的平面图形画出来,你能画出多少种?

通过讨论：教师引导得到11种：(1)接连四个面，两侧各一有6个；(2)接连三个面，两侧各有一个、两个有三个，(3)接连三个面排两排错开有一个；(4)接连二个面三排错开有一个.一般有“Z”.

4.如图1：是一个正方体纸盒的展开图，请在其中的三个正方形A、B、C，填入适当的数，使得它们折成正方体后的相对面上的两个数为互为相反数.即直接根据平面图出发进行空间图形(体)的直观形象的想象.

创设这样一些数学实验的情境，使得学生可以最大限度的发挥自己的主观能动性，发挥自己的创造性，像真正的数学家那样去尝试数学的发现发明，从而获得发明创造的体验，感受发明创造的乐趣.也就是常说的“还数学创造的本来面目”.

三、 探索活动中诱发猜想，培养学生的奇思怪想

我们知道，学生的想象力越丰富，对知识的理解就越有创见.所以我们在教学中应充分利用一切可供想象的空间，挖掘发展想象力的因素，发展学生的想象力，拓宽学生的思维.

例如著名的“鸡兔同笼”问题：鸡兔共有头18个，脚60只，问有多少只鸡、多少只兔？

古老的解法是：“假想”这18只都是鸡或者都是兔.

若都是鸡，共有18×2=36只脚，60-36=24只脚应都是给兔子少算的脚，相对说每只兔少算2只脚，故有24/2=12只兔子.

若都是兔子，共有18×4=72只脚，72-60=12只脚应都是给鸡多算的脚，相对说每只鸡多算2只脚，故有12/2=6只鸡.

这种方法，思路精巧，但很多学生想不通：明明有鸡有兔，为什么假设只有一种呢？

另一种解法：

如果所有的鸡都是“金鸡独立”，同时所有的兔子都用后脚直立起来，就容易发现：所有的脚的一半与头数之差正好是兔子的只数.即：60/2-18=12只兔子.

这种方法其妙有趣，但犹如天外奇想.

第三种方法：

问：兔子4只腿，鸡却2只脚，是不是不公平？

答：恩，(思考)也不算不公平，它还有2只翅膀呢.

问：如果翅膀也算脚，共该有多少只脚？

答：18×4=72，72只脚.

问：题中翅膀算不算脚？答：不算！

问：那么可见有多少翅膀呢？答：72-60=12，12只翅膀.

于是：“6只鸡”，答案顺理成章.

第四种方法：用方程或者方程组解决问题.

运用方程的思想开始使知识抽象化，有时候似乎带些神秘色彩，但它可以很有效地把握各种数学量之间的联系，把数学方法从一个领域过渡到另一个领域.

好的教师不是在于能教数学，而是在于关心如何提高学生的学习动机和兴趣，增强教学内容与日常生活或以往学习经验的联系，引导学生用内心创造和体验的方法来学习数学；鼓励学生寻求解法，而不是记住步骤；探索模式，而不是模仿题型；形成猜想，而不是仅仅做练习题；帮助和鼓励学生按自己的想法和语言重建所学的东西；鼓励学生用学到的知识去修正和改造原有的观念和想法.