二次函数的学习方法探讨

二次函数是初中数学学习的重点、难点，也是中考的热点，二次函数学习的成败关系到初中函数学习能否全面掌握，是中考成绩获得高分的关键。二次函数本身是几何图形和方程两大知识的综合体，因此所涉及的知识点多，涉及面广。借助直角坐标系在方程知识与图形知识之间进行转化，这些知识对综合能力还不是很强的初中生来说，在理解掌握上还是有一定困难的。如何学好二次函数，下面根据多年的教学经验总结以下几点学次函数的方法。

一、掌握学习函数的几个基本知识点

函数学习内容主要由三部分组成：（1）函数解析式。（2）函数图象及画法。（3）函数的性质

1.函数的概念

如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）那么y叫做x的二次函数，特征①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2，②二次项系数a≠0，x的最高次数是2，是经常考试的考点。

2.二次函数的图象及画法

①用配方法化成顶点式。②确定图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。③在对称轴两侧利用对称性、描点画图。

（3）画y=ax2+bx+c的草图，抓住五个要点：①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y轴交点；⑤与x轴交点。

3.二次函数的性质，性质的理解一定要借助图形，不要死记硬背结论，在理解基础上记忆

二、掌握抛物线与两坐标轴交点的求法

1.二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点，求法：设x=0得y=a×02+b×0+c，交点（0，c）

2.二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点，求法：设y=0得ax2+bx+c=0设此方程两根为x1，x2，则交点坐标（x1，0）（x2，0）

三、熟练掌握求解析式的三种方法

用待定系数法可求二次函数解析式，确定二次函数解析式一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同设法

1.设一般式：y=ax2+bx+c

若已知条件是图象上三个点坐标。将已知条件代入所设一般式求出a，b，c的值。

2.设顶点式：y=a（x-h）2+k若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，将已知一个点坐标的条件代入所设顶点式，求出待定系数，最后将解析式化为一般式。

3.设两根式：y=a（x-x1）（x-x2）若已知二次函数图象与x轴两个交点坐标为（x1，0）（x2，0），将第三点（m，n）的坐标或其他已知条件代入所设两根式，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式。

例1：已知二次函数图象过点A（0，-3），B（-1，5），C（2，-1），求二次函数解析式。

例2：已知x=2时，函数有最大值-1，且图象经过点（3，-4），求二次函数解析式。

例3：已知二次函数图象与x轴交点是A（-2，0），B（1，0）且经过点C（2，8），求解析式。

四、掌握抛物线与x轴的三种位置关系及条件

1.与x轴有两个交点 2.与x轴有一个交点 3.与x轴没有交点

五、掌握二次函数图象的平移

例1：抛物线y=2x2沿y轴向上平移3个单位后解析式是

例2：抛物线y=3（x+1）2-2是由函数y=3x2沿y轴向 平移 个单位后沿x轴向 平移 个单位得到。

六、掌握已知二次函数图象的应用

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，确定y=ax2+bx+c中a、b、c及b2-4ac的符号。

1.a的作用：①决定开口方向和大小，a>0开口向上，a

2.b由对称轴的位置决定；

3.c由抛物线与y轴交点纵坐标决定；

4.b2-4ac由抛物线与x轴交点情况决定。

例：如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，试确定a，b，c，b2-4ac，a+b+c的符号。

七、掌握二次函数与一次函数的关系

二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+b交点坐标（设交点存在）可由方程组y=kx+by=ax2+bx+c的解决定。

例：设二次函数图象的对称轴是方程经x-2=0，它经过点（2，3）且与一次函数的图象交于（0，-1），而这一次函数的图象与直线y=3x平行。

（1）求这一次函数与二次函数的表达式；（2）求这两个函数图象的另一交点。

八、掌握二次函数与中考压轴题的关系

学完二次函数基础知识后，重点应学会二次函数的应用，中考压轴题常出现二次函数与几何图形组合而成的综合题型，通过对这一类型题目的学习和探讨，逐步掌握分析问题的方法、解题的技巧。此类题型因涉及知识点多，综合性强，对多数学生来说都有一定难度，所以更应多加学习与训练。

1.抛物线与三角形的结合

如图，已知A（1，0），B（0，3）把OAB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到OCD，以E为顶点的抛物线y=ax2+bx+c，经过A、B、D三点，连结EC、ED。

（1）该抛物线的函数关系式为 直线CE的函数关系式为 。

（2）证明CDE是等腰直角三角形；

（3）在射线CE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与OCD相似？若存在，请求出点P坐标，若不存在请说明理由。

参考答案：（1）y=-x-2x+3，y=-3x+1。

（2）如图证明EFC≌COD。

2.抛物线与矩形的综合

如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系。

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

（2）求这条抛物线的解析式；

（3）若要搭建一个矩形“支撑架AD-DC-CB”，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个支撑架总长的最大值是多少？

参考答案：（1）M（12，0） P（6，6）

3.抛物线与圆的综合

（1）求过A、C两点的一次函数的解析式；

（2）求过E、D、O三点的二次函数解析式；

（3）证明（2）中抛物线顶点在直线AC上。