指数与对数函数的突破要点

指数函数与对数函数是重要的基本初等函数，也是高考数学的热点内容之一. 近年来，高考主要考查的是指数函数和对数函数的图象及性质，以及运用它们的性质来解决具体问题的能力． 试题常以含有指数函数、对数函数的复合函数形式呈现，以及与方程、不等式、数列等知识的交汇综合．

学习基本初等函数时，要对如何运用所学的函数知识来研究一个具体函数的方法有较完整的认识.指数函数和对数函数的性质与底数a的取值有关，应注意分类讨论；在求解含有参数的指数函数、对数函数问题时，常运用化归思想，将复杂问题简单化，应注意数形结合、类比、换元等数学思想与方法的灵活应用.

重点：指数与对数的运算性质；指数函数与对数函数的概念、图象和性质．

难点：底数a对指数函数、对数函数的单调性的影响；指数函数、对数函数的性质的综合应用．

1. 比较大小

涉及指数值或对数值比较大小的问题，通常要借助指数函数或对数函数的单调性进行解决. 解决这个问题的前提是能化同底，或者考虑使用中间量，即让一个值大于中间量，一个值小于中间量，问题便能解决． 特别地，熟练掌握中间量“1”与“0”的应用，如1=a0=logaa，0=loga1等.

2. 函数图象

函数图象是函数的一种直观形象的表示，在同一坐标系可用直线x=1（y=1）区分不同底的指数函数（对数函数）． 函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、识图、用图三个基本问题．

3. 底数范围

指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，特别是解决与指数函数、对数函数的单调性有关的问题时，首先要看底数a的取值范围，情形不明时，需分类讨论．

4.复合函数

指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数、对数函数的复合问题，一般采用换元处理，如：y=a2x+2ax－3，通常令t=ax（特别地，要注意新变量的取值范围）． 另外，复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径，对其单调性的判断常借助于“同增异减”这个性质．

思索 题目条件中给出的是两个超越方程，直接求出x1，x2的值不切实际． 如果从函数与方程思想切入，立足于指数函数与对数函数，将条件中的方程形式进行变形，分解出指数型或对数型函数，再利用数形结合的方法即可求解．

点评 在对简单复合函数的性质进行研究时，应该将其拆分成内函数与外函数，并分别研究内函数和外函数的性质，然后再根据复合规律加以判断． 对形如y=logaf（x）的复合函数的性质的研究，必须注意定义域对整个问题的影响，若字母a未定，还要对a的值分类讨论．

1. 夯实基础知识

对于指数函数与对数函数，要立足基础，从概念、图象和性质这三个方面理解它们之间的联系与区别，从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点、特殊区间理解它们的有关性质．

2. 突出思想方法

数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想是解决指数函数与对数函数的常用思想方法． 通过数形结合的方法研究函数的图象可以探索其性质，同样，利用函数的性质又可作出其图象. 如果指数函数的底数及对数函数的真数和底数含有参数，一般需要分类讨论． 函数与方程的关系密切，它们之间常常可以相互转化，特别是函数的零点与方程的根．

3. 重视交汇综合

重视知识与能力的交汇综合，一是各知识板块之间的交汇与融合，比如函数、数列、不等式，它们各自既具有独立意义，相互之间又存在着天然的、密切的联系，复习时要把它们看成一个整体来研究；二是按主题的整合，比如图象变换，涉及的知识包括二次函数的平移、函数的奇偶性、三角中的伸缩变换等，通过研究其主通性，再拓展到各类函数与图象、方程与曲线中去．

4. 研究真题考纲

函数知识是高中数学的主线，指数函数与对数函数是两种重要的基本初等函数，只有认真研究高考对函数内容的命题趋势，重视《考试说明》和历年高考试题对命题的导向作用，方能有的放矢，事半功倍．