牛顿动力学中的临界问题

临界问题是牛顿动力学中的典型问题，解决这类问题的关键是抓住物体受力从“量变”引起“质变”的临界状态，找出问题的临界条件，从而使问题迎刃而解。本文对此类问题进行举例分析。

一、绳张紧与松弛型临界问题

【例1】如下图所示，两细绳与水平的车顶的夹角为60°和30°，物体的质量为m，当小车以大小为2g的加速度向右匀加速运动时，绳1和绳2的张力大小分别为多少？

审题要点当小车向右加速运动时，绳1、绳2的拉力如何变化？绳1的拉力为0时，临界加速度a0为多少？

解答当小车向右加速运动时，绳1的拉力减小而绳2的拉力增加，当绳1的拉力减小到零时，物体的受力如图1，由牛顿第二定律：mgcot30°= ma0，此时物体的加速度a0 = g cot30°=10 m/s2

规律总结绳张紧与松弛的临界条件是伸直的绳子中的张力为0；绳断与不断的临界条件是绳中的张力等于绳所能承受的最大拉力。

二、两物体接触与分离型临界问题

【例2】一弹簧秤秤盘的质量M=1.5 kg，秤盘内放一个质量m=10.5 kg的物体P，弹簧质量忽略不计，弹簧的劲度系数k=800 N/m，系统原来处于静止状态，如图所示。现给P施加一竖直向上的拉力F，使P由静止开始向上做匀加速直线运动。已知在前0.2 s时间内F是变力，在0.2 s以后是恒力。求力F的最小值和最大值。取g=10 m/s2。

审题要点一是物体P与秤盘何时分离？二是分离前后二者的运动学条件和动力学条件是怎样的？t=0.2 s内F是变力，t=0.2 s后F是恒力，说明t=0.2 s时，P离开秤盘。此时P受到秤盘的支持力N=0，P和秤盘仍有相同的加速度，由于秤盘有质量，所以此时弹簧不能处于原长。

解答开始时，系统处于静止状态，弹簧的压缩量设为x1，由平衡条件得kx1=(m+M) g

0.2 s时P与秤盘分离，此时弹簧的压缩量设为x2，对秤盘由牛第二定律得kx2－Mg=Ma

在0~0.2s内P与秤盘向上匀加速运动，则x1－x2= at2

解得a＝6 m/s2

当P开始运动时拉力最小，此时对秤盘和P整体有Fmin=(M+m)a=72 N

当P与秤盘分离时拉力F最大，Fmax=m(a+g)=168 N。

规律总结两物体接触与分离的临界条件是两物体间相互作用的弹力为0。

三、两物体发生相对滑动型临界问题

【例3】物体A的质量m=1 kg，静止在光滑水平面上质量为M=0.5 kg的平板车B上，平板车长为L=1 m。某时刻A以v0=4 m/s水平向右的初速度滑上平板车B的上表面，在A滑上平板车B的同时，给平板车B施加一个水平向右的拉力。忽略物体A的大小，已知A与平板车之间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10 m/s2。试求：为使A不至于从平板车B上滑落，拉力F应满足的条件。

审题要点若物体A滑到B的右端时，速度仍大于B的速度，则将从平板车的右端滑落；若二者达到共同速度后， >μg，则将从平板车左端滑落。

解答物体A不从平板车右端滑落的临界条件是A到达B的右端时A、B具有共同速度，设为v1，则：

①又 ②

由①②式可得aB=6 m/s2

代入F+μmg=MaB得

F=MaB－μmg=1 N

若F

当F较大时，在A到达B的右端之前，就与B具有相同的速度，之后，A必须相对B静止，才不会从B的左端滑落，设A、B的共同加速度为am，根据牛顿第二定律有

F=(M+m)am μmg=mam

解得F=3N

若F大于3N，A就会从平板车B的左端滑下

综上所述，拉力F应满足的条件是：1N≤F≤3N。

规律总结两物体发生相对滑动的临界条件是两物体速度