数列的下标等和性质的应用

数列是高考的重要考查的内容之一，在高考试卷中常常是一道小题（选择题或填空题）和一道大题（解答题）。数列问题一般离不开等差数列或等比数列，而等差数列或等比数列的下标等和性质是高考的热点。本文就以一些高考题为例谈谈数列的下标等和性质的应用。

一、数列的下标等和性质

1. 等差数列的下标等和性质：已知{an}为等差数列，m，n，p，q∈N ，且m+n=p+q

则am +an =a p+aq 。

证明：设等差数列{an}的公差为d，则

am +an =[a 1+（m-1）d]+[ a1+（n-1）d]=2a1 +（m+n-2）d=2 a 1+（p+q -2）d

=[ a1 +（p-1）d]+[ a1 +（ q-1 ）d]=ap +aq 。所以等式成立。

2. 等比数列的下标等和性质：已知{an}为等比数列，m，n，r，s∈N ，且m+n=r+s，则 aman = aras 。（证略）。

二、下标等和性质的应用

1.直接应用

例1.在等差数列{an}中，a3 =7， a5 =a 2+6.则a6 =__________.

解析：本题常常会用一般解法，但比较费时，若用下标等和性质，显得很容易。具体解

法如下：两等式相加，得：a3 + a5 = a 2+13， 所以：a6 =13

例2.{an}为等差数列，a7 -2a4 =-1，a3 =0， 则公差d=（ ）

A.-2 B.- 12 C12 D.2

解析：依题意，得;（ a3 +a7 ）-2 a4 =-1，所以 d=a5- a4 =- 12，选择B

类似的试题还有：

1.已知等比数列{an}满足a n>0，n=1，2，……，且a5 *a2n-5 =2 2n（n≥3），则当n≥1时，2 a1 +2 a 3 +……+ 2 a2n-1 =（ ）

A.n（2n-1） B.（n+1）2 C. n2 D. （n-1）2 （答案C）

2.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3 a9 =2a52 ， a2 =1

则a1 =（ ）

A.2 B. 2 C.22 D.12 （答案C）

3.已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，a5 = ______ （答案：15 ）

4.已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7 （答案：C ）

5.等比数列{an} 中，a4=4 ，则a2・a6 等于（ ）

A.4 B. 8 C. 16 D. 32 （答案：C ）

2.与前n项和结合：

例3.设Sn 是等差数列{ an}的前n项和，a12 =-8， S9=-9，则S16=_______

.

解析： S9=9（a1+a9）2 =-9 ，所以a5 =a1+a92 =-1，所以： S16=16 （a1+a16）2=8（a5 +a12 ）=-72

例4. 已知两个等差数列{ an} 和{ bn} 的前n 项和分别为An 和Bn ，且An Bn =7n+45n+3 ，则使得 anbn为整数的正整数 n的个数是（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

解析： anbn = 2an2bn = （2n-1）（a1+a2n-1）（2n-1）（b1+b2n-1）= A2n-1B2n-1= 7（2n-1）+45（2n-1）+3 = 7n+19n+1=7+12n+1 ，要使 anbn 为整数，只须n+1=2，3，4，6，12即n=1，2，3，5，11，所以正整数n的个数是5。

类似的试题还有：

1.等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知am-1 +am+1 -am2 =0， s2m-1 =38，则m=________. （答案：10 ）

2.设S n是等差数列{an}的前n项和，已知a2 =3，a6 =11，则S7 等于（ ）

A.13 B。35 C。49 D.63 （答案：C ）

3.设{an} 是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{an}前8项的和为（ ）

A.128 B.80 C.64 D.56 （答案：C ）

4.若等差数列{an }的前三项和S3=9 且 a1=1，则a2 等于（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6 （答案：A ）

5.已知等差数列 {an }的前 n项和为Sn ，若S12=21 ，则a2+a5+a8+a11=______ . （答案：7 ）

6.（07年高考安徽卷、文3）等差数列{an } 的前 n项和为Sn ，若a2=1，a3=3，则S4= （ ）

A.12 B.10 C.8 D.6 （答案：C ）

3.与一元二次方程结合：

例5.已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3 a6 =55，a2 +a7 =16。（1）求数列{an }的通项公式;（2）略

解析;由等差数列的下标等和性质，得 a3 + a6=a2 + a7=16，又a3 a6 =16 ，由韦达定理知：

a3， a6 是方程x2-16x+55=0 的两根，解方程得 x1=5或 x2=11。设公差为d，因为：d>0，所以， a3=5， a6=11，则由 a6= a3+ 3d，得d=a6-a33 =2， a1=a3 -2d=5-4=1故 an=2n-1

类似的试题还有：

1.已知等差数列{an}中，a3 a 7=-16，a4 +a6 =0，求

{an }的前n项和为Sn 。 （答案： n2-9n或-n2+9n ）

三. 下标等和性质的推广：

若数列{an}为等差数列（或等比数列），K1 ，K2 ，……，Kn ，m1 ，m2 ，…… mn∈N ，且 K1 + K2+……+ Kn = m1 + m2+……+mn ，则 ak1+ak2 +……+ akn= am1+ am2+……+amn 。（或 ak1ak2 …… akn= am1am2……amn ）

例6.设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S9 =72，则a2 +a 4+ a 9=________

解析：因为： S9= 9（a1+a9）2=9a5 =72，所以： a5=8，所以： a2+ a4+ a9=3 a5=24

类似的试题还有：

1.已知{an}为等差数列，a1 +a 3+a 5=105，a2 +a4 +a 6=99

则a20 =（ ）

A.-1 B。1 C。3 D.7 （答案B）

例7.已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则（a+b） 2cd的最小值是（ ）

A.0 B。1 C。2 D。4

解析;因为：x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，a，b，y虽然没有下标，但是可以看成等差数列的连续四项，由下标等和性质得，a+b=x+y，又x，c，d，y成等比数列，所以：cd=xy。而 （a+b） 2cd = （x+y） 2xy ≥（2xy ）2xy=4， 当且仅当x=y时， （a+b） 2cd取到最小值4。

类似的试题还有：

1.已知 a，b，c，d成等比数列，且曲线 y=x2-2x+3的顶点是（b，c） ，则ad 等于（ ）

A.3 B.2 C.1 D.-2 （答案：B ）

总之，用等差、等比数列的下标等和性质解题，具有一定的技巧性、灵活性，达到省时、

快速的效果。在高考数列试题中，这类试题越来越受到各省（市）的青睐。