求数列通项公式的几种方法

数列an的通项公式就是数列的第n项an与n之间的函数关系,即an=f(n),n∈N*。求数列通项公式在近几年高考中也经常出现,下面我们就来介绍几种求通项公式方法。

一、已知数列an前n项和Sn,利用公式an=s1(n=1)sn-sn-1(n≥2)求an.

公式an=s1(n=1)sn-sn-1(n≥2),给出了第n项与前n项和之间的关系,这个式非常重要,在利用这个关系时必须注意:

① 公式对任何数列都适用;

② n=1的情形要单独讨论

例1 (2009浙江文)设Sn为数列an的前n项和,Sn=kn2+n(n∈N),其中k是常数.

(1)求a1及an;

(2) 若对于任意的m∈N,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.

解:(1)当n=1时,a1=S1=k+1,

n≥2时,an=Sn-Sn-1=kn2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1()

经验,n=1(*)式成立,an=2kn-k+1

(2) 略

例2 已知a1+2a2+3a3+…+nan=n2,求an.

分析:题设中a1+2a2+3a3+…+nan是数列nan的前n项和sn,通项为nan,由公式an=s1(n=1)sn-sn-1(n≥2)可求出nan,再就可求出an.

解:nan=(a1+2a2+3a3+…+nan)-(a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1)

=n2-(n-1)2=2n-1,

an=2-1n

二、已知数列an前n项之积Tn,一般可求Tn-1,则an=T1(n=1)TnTn-1(n≥2)

例3 已知数列an中,对所有的n∈N,都有a1•a2•a3…an=n2,求an

解:当n=1时,

a1=1,

当n≥2时,

an=a1•a2•a3…ana1•a2•a3…an-1=n2(n-1)2,

an=1(n=1)n2(n-1)2(n≥2)

三、已知数列an的递推关系,研究an+1与an的关系式的特点,可以通过变形构造出新数列{f(an)}为等差或等比数列,求an

例4 已知数列an满足a1=15,且当n>1,n∈N*时,有an-1an=2an-1+11-2an,求an

解:an-1an=2an-1+11-2an

an-1-2anan-1=2anan-1+an

an-1-an=4anan-1

an-1-ananan-1=4

1an-1an-1=4

1an成首项为1a1=5,公差为4的等差数列

1an=1a1+4(n-1)=5+4(n-1)=4n+1

an=14n+1.

例5 已知数列an中,a1=2,an+1=3an+2,求an.

分析:数列an既非等差也非等比数列,设an+1+x=3(an+x),由已知可

求出x=1,即an+1+1=3(an+1),则数列an+1是等比数列,因此

由等比数列的通项公式可求出an+1,再就可求出an.

解:an+1=3an+2

an+1+1=3(an+1)

数列an+1是等比数列,首项a1+1=3,公比为3

an+1=33n-1=3n

an=3n-1.

四、累加法、累乘法

1.已知an-an-1=f(n)(n≥2),且f(n)成等差(比)数列,

则求an可用累加法.

例6 (2009全国卷Ⅰ理)在数列an中,a1=1,an+1=(1+1n)an+n+12n.

(1) 设bn=ann,求数列bn的通项公式.

(2) 求数列an的前n项和Sn.

解:(1) 由已知有an+1=n+1nan+n+12n

an+1n+1=ann+12n

bn+1-bn=12n 又b1=a11=1

b2-b1=12,b3-b2=122,

b4-b3=123,……,

bn-bn-1=12n-1

(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-b3)+…+(bn-bn-1)

=

12+122+123+…+12n-1

bn-b1=12(1-12n-1)1-12=1-12n-1

bn=1-12n-1+b1=2-12n-1(n≥2)

b1=1也满足bn=2-12n-1

bn=2-12n-1

(2) 略

2. 已知anan-1=f(n)(n≥2),求an用累乘法.

例7 设数列an中,a1=1,且(2n+1)an=(2n-1)an-1(n∈N*,n≥2),求an.

解:(2n+1)an=(2n-1)an-1

anan-1=2n-12n+1

a2a1=35,

a3a2=57,

a4a3=79,…,anan-1=2n-12n+1

a2a1•a3a2•a4a3•…•anan-1=35•57•79•…•2n-12n+1

ana1=32n+1

an=3a12n+1=32n+1(n≥2)

a1=1也满足an=32n+1

an=32n+1

五、数学归纳法

有些题目可由递推关系计算出数列的前几项,然后猜想出通项公式,最后用数学归纳法证明。对于数学归纳法有些省市的教材中已经不做要求,但有些省市的教材仍然要求掌握,并且高考仍作为考察点。

例8 (2003天津高考理科第22题(1))设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N).

证明:对任意n≥1,an=153n+(-1)n-1•2n+(-1)n•2n•a0

证明:(1) 当n=1时a1=30-2a0=1-2a0

而a1=1531+(-1)0•21+(-1)1•21•a0=1-2a0

当n=1时,命题成立

(2) 假设n=k时命题成立

即:ak=153k+(-1)k-1•2k+(-1)k•2k•a0

那么n=k+1时,由已知得

ak+1=3(k+1)-1-2a(k+1)-1=3k-2ak

=3k-2*153k+(-1)k-1•2k+(-1)k•2k•a0

=3k-25*3k-25(-1)k-1•2k-2•(-1)k•2k•a0

=35*3k+15(-1)k2k+1+(-1)k+1•2k+1•a0

=153k+1+(-1)(k+1)-1•2k+1+(-1)k+12k+1a0

故n=k+1时,命题也成立

根据(1)(2)对任意n≥1,an=153n+(-1)n-1•2n+(-1)n•2n•a0都成立。

(张成斌 江苏省南京市文枢中学 210004)