浅析高等数学知识在中学数学解题中的应用

摘 要:利用高等数学中的高等代数、数学分析、高等几何、概率论的相关知识来解中学数学题,可以取得良好效果。

关键词:齐次线性方程组 线性组合 导函数 变量与常量 概率模型

高等数学由于其本身高度的抽象性和极强的逻辑性,使得不少人认为高等数学在中学数学教学中基本无用,但随着中学新课改的不断深入,中学数学中涉及高等数学的内容在不断地增加,可以说这是数学发展的必然.高等数学知识在开阔学生视野、提高学生学习兴趣、指导学生解题等方面的作用也日益突出.因此讨论高等数学知识在中学数学中的应用是很有必要的,下面结合具体的实例谈谈高等数学知识在中学数学解题中的应用.

一、利用高等代数知识解题

1.利用齐次线性方程组的方法解题

引理:含有n个未知量,n个方程的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是:方程组的系数行列式D=A=0.

例1.设f(x)=ax2-b且满足-4≤f(1)≤

-1,-1≤f(2)≤5,求f(4)的取值范围.

分析:本题容易出现如下错误解法

f(1)=a-b,f(2)=4a-b,f(4)=16a-b

-4≤a-b≤-1 (1)

-1≤4a-b≤5 (2)

由(1)得1≤-a+b≤4,(3)

由(2)+(3)得0≤a≤3(4)

0≤16a≤48(5)

由(3)得4≤-4a+4b≤16(6)

由(2)+(6)得1≤b≤-1(7)

-7≤-b≤-1(8)

由(5)+(8)得-7≤16a-b≤47

即-7≤f(4)≤47

本题可以用齐次线性方程组的方法来解.

解:由已知有f(1)=a-b,f(2)=4a-b,f(4)=16a-b

即a-b-f(1)=04a-b-f(2)=016a-b-f(4)=0

这是关于a,b,-1的齐次线性方程组且有非零解,所以

1 -1 f(1)4 -1 f(2)16 -1 f(4)=f(4)+4f(1)-5f(2)=0

即f(4)=-4f(1)+5f(2)

从而-1≤f(4)≤41

这个例子的实质就是根据已知条件的特征构造齐次线性方程组.这里正确确定方程组的变量是解题的关键.如果已知条件是关于几个变量的等式,而结论是只与其中某些变量有关的表达式,这时将结论中出现的某些量作为齐次线性方程组的系数,而将其余量作为方程组的未知量.

2.利用线性组合的方法解题

定义若向量α为向量组β1,β2,…,βs的一个线性组合,如果有数域P中的数k1,k2…ks,使α=k1 β1 +k2 β2 +…ks βs.

例1的解法二如下:

解:设f(4)=αf(1)+βf(2)=α(a-b)+β(4a-b)

即16a-b=(α+4β)a-(α+β)b

α+4β=16α+β=1?陴α=-4β=5

16a-b=-4(a-b)+5(4a-b)

又-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5

4≤-4(a-b)≤16,-5≤5(4a-b)≤25,

-1≤-4(a-b)+5(4a-b)≤41,

即-1≤f(4)≤41.

此种解法与例1的解法有异曲同工之效,此种解法的关键是把f(1),f(2)看成一个整体,利用待定系数法求f(4)关于f(1),f(2)的一个线性组合.最后所求的f(4)的取值范围也没有扩大和缩小,满足题目的要求.

二、利用数学分析知识解题

1.利用导函数的方法解题

函数是数学研究的主要对象,中学数学用代数方法研究它的一些形态,如单调性、周期性和极值性等,但是由于方法的限制,这些研究既不全面又不深入,并且计算繁琐,不易掌握其规律,导数为我们提供更深入地研究函数的性态提供了有力的工具.

例2.已知m,n是正整数,且1

证明:要证(1-m)n>(1-n)m

只要证nln(1-m)>mln(1+n)

x≥2,ln(1+x)>1

f ′(x)

f(x)在区间[2,+∞)上为严格减函数,

又1

2.利用“变量”与“常量”相互转化的方法解题

例3.解方程x3+6x2+9x+2=0

分析:此题若按三次方程求解x相当困难.若将“3”看成未知数,x看做常量,则是一个关于“3”的一元二次方程.

解:改写原方程为x・32+(2x2+1)・3+x3-1=0

三、利用高等几何解题

例4.过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF,连接CF和ED交AB弦于P,Q.

求证:PM=MQ.

分析:此题若局限在平面几何范围内去研究,虽能找到多种不同的证法(略),却都来之不易,但是如果我们利用高等几何中交比的方法来证明,就非常容易了.

四、利用概率论知识解题

例5.若0

分析:本题是一道关于不等式证明的题目,如用中学数学的知识来做,过程复杂且繁琐,下面用构造概率模型的方法来给出证明过程.

证明:令A,B是两个相互独立的事件,且使P(A)=a,P(B)=b

由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=a+b-ab

由概率的性质知0≤P(A∪B)≤1

从而0≤a+b-ab≤1

用概率论证明不等式,最基本的思路是将不等式中的数转换成若干个相互独立事件的概率,从而将实数之间的运算转换成概率的运算,利用概率的有关计算公式及性质,便可证得结论.

高等数学知识在中学数学解题中的应用远不止上述的几个方面,但是通过对上述问题的解决,不难从中得到结论:高等数学知识为解决中学数学问题提供了别开生面的思路,给人以启迪.

作者单位:建湖县职业技术教育中心