微元积累类析

微积分思想在中学物理教学中有着初步的渗透,也是高中学生学习的难点。在近几年的高考题型中有很多问题利用微积分思想能较快地解决。这种思想能帮助学生更深刻地理解物理概念,帮助学生走出错解的误区,有利于学生简化复杂的物理解题过程,从而更好地提高教学效果,更好的培养学生分析和解决问题的能力。

一、速度对时间的微元积累

质点做匀变速直线运动的速度图像如图1所示,为了求出质点在时间t内的位移,我们把时间t划分为许多小的时间间隔Δt,在每一段极短的时间Δt内,v可视为不变,而从一个时间间隔到下一个时间间隔,速度跳跃性地增加。图中阴影的小面积就等于某段时间Δt内的位移vΔt即等于相应时间间隔的图线下方的一条矩形面积;在时间t内的位移,数值上等于折线下方的所有矩形面积之和。当时间间隔分得越细即Δt足够小,相应时间间隔的图线下方的矩形面积就越接近梯形面积,那么在时间t内的位移在数值上就越接近整个大梯形面积,即匀变速直线运动的质点在t时间内的位移S=v0t+at2(如图2所示)。恰到好处地运用微积分思想在解决实际问题时可以简化解题过程。

例题如下:

在一个真空室内,一束非常准直的Na-23原子束(通过样品在1000K高温下蒸发而获得原子做热运动的速率近似为v0=1000m/s),受一束激光的正面照射,如图3所示。设原子处在基态,运动方向与激光光子的运动方向相反。选好激光频率使光子能量E等于钠原子第一激发态与基态间的能量差,原子就能吸收它而发生跃迁,跃迁后原子的速度变为v1,随后该原子发射光子并回到基态。设所发射光子的运动方向与速度v0的方向总是相同,此时原子的速度为v2,接着重复上述过程,直到原子的速度减小到零。

(1)吸收和发射光子的总次数为多少?

(2)原子停留在激发态上的时间称为原子在这种状态下的寿命,大小约10-8S。忽略每次吸收与发射光子的时间,按上述方式,原子初速度v0减小到零,共需多长时间?该时间内原子总共走过的路程约为多少?(E=3.36×10-19J,钠原子的质量M=3.84×10-26kg,阿伏加德罗常数N=6.0×1023mol-1,光子速度C=3.0×108m/s)

解析:根据题意可知,钠原子吸收光子和放出光子时满足动量守恒:

Mv0-P=Mv1(吸收光子过程)

Mv1=P+Mv2(放出光子过程)

设光子动量为P,当原子吸收光子后以速度v1做匀速运动,运动时间为10-8S,然后放出光子,则钠原子速度变为v2,如此重复。

每次吸收放出光子一次,钠原子动量减少2P,设吸收放出光子n次,则: