立足教材,高效备考

【前言】立足教材,高效备考由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。A.26 B.33 C.27 D.29 初看题目，学生很难入手.但从求原点到直线的最大距离上看，直线应恒过定点.而高中数学人教B版《选修2-1》教材中，P70-练习B-2，过抛物线y2=2px（p>0）的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB，求证弦AB与抛物线对称轴相交于定点. 解析 如图，设A（y212p...

高考题多源于教材，高于教材，最后的落脚点还是教材，因此在高考复习中对教材题的把握尤为重要.

教材中习题，例题多是浅显的，学生不重视，学生复习教材多浮于表面，流于形式，提不起兴趣.这就要求教师在教学中从以下两方面加以引导，点拨.

一、寻根求源

记单词想词根，解难题找题根，题根就是讲课时的例题，教材中的习题，考卷上的考题.它是一个题族的根祖，一个题系的根基，一个题群的代表.抓住了一个题根，就等于抓住了这个题族，这个题群，这个题系.

引例 过点A（1，2）作抛物线y2=4x的弦AP，AQ，若APAQ，则原点O到直线PQ距离的最大值为（ ）

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初看题目，学生很难入手.但从求原点到直线的最大距离上看，直线应恒过定点.而高中数学人教B版《选修2-1》教材中，P70-练习B-2，过抛物线y2=2px（p>0）的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB，求证弦AB与抛物线对称轴相交于定点.

解析 如图，设A（y212p，y1），B（y222p，y2），直线AB方程为x+my+n=0，由题意知OA=（y212p，y1）

，OB=（y222p，y2），则OA・OB=y212p・y222p+y1y2=0显然y1y1≠0，所以

y1y2=-4p2.（1）

联立x+my+n=0，

y2=2px，消去x得y2+2pmy+2pn=0，

由根与系数关系得

y1y2=2pn.（2）

由（1），（2）得n=-2p，于是直线AB方程为x+my-2p=0，恒过定点

（2p，0）.

引申1 过抛物线y2=2px（p>0）上任意定点P（x0，y0）的两直线PA，PB分别交抛物线于另一点A，B，若PA，PB，互相垂直（即斜率之积为-1）时，AB还恒过定点吗？

解析 设A（y212p，y1），B（y222p，y2），设AB方程：x=my+n，

由x=my+n，

y2=2px.消去x得y2-2pmy-2pn=0，

则y1+y2=2pm（1），y1・y2=-2pn（2）.

由于PA・PB=0，则y1-y0x1-x0・y2-y0x2-x0=-1，

即y1-y0y212p-y222p・y2-y0y222p-y202p=-1，

y1y2+y0（y1+y2）+y20=-4p2.（3）

将（1），（2）代入（3）得：-2pn+2pmy0+2px0=-4p2，

所以n=x0+my0+2p，

直线AB方程为：

x-（x0+2p）=m（y+y0）.

所以直线AB恒过定点M（x0+2p，-y0）.

通过证明会发现AB仍恒过一定点（x0+2p，-y0）.利用这个结论知引例中直线PQ恒过定点M（5，2），当OMPQ时，O到直线PN的距离最大为 29.

显然教材中此题是这类题的题根，在高三复习中若能利用教材中例题，习题，汲取主干中营养，生发出新的枝节，就能培植出知识和能力的参天大树.

二、推广引申

引申2 过抛物线y2=2px（p>0）上任意点P（x0，y0）的两条直线PA，PB分别交抛物线于另一点A，B，若PA，PB斜率之积为定

值k时，则AB恒过定点（x0-2pk，-y0）.

引申3 过抛物线y2=2px（p>0）上任意定点P（x0，y0）作弦PA，PB交抛物线于另一点A，B，若kPA+kPB=k，则直线AB恒过定点（x0-2y0k，2pk-y0）.

引申4 已知椭圆x24+y2=1的左顶点为A，过A作两条弦AP，AQ交椭圆于P，Q两点，AP・AQ=0，当直线AP变化时，直线PQ是否过x轴上定点？若过定点给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.

解析 设直线AP的斜率为k，则AP方程为y=k（x+2）（k≠2），代入椭圆方程化简得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0.因为方程一根为-2，所以xp=2-8k21+4k2，当k=1时，得P（-65，45），Q（-65，-45）.

若存在定点，则此点必为M（-65，0），

当k≠1时，

kPM=ypxp-（-65）=k（2-8k21+4k2+2）2-8k21+4k2+65=5k4-4k2.

同理得kQM=5k4-4k2，故直线PQ过x轴上定点（-65，0）.

引申5 过椭圆x2a2+y2b2=1上任意定点A（x0，y0），作两条弦AP，AQ交椭圆于P，Q两点，AP・AQ=0，则直线PQ恒过定点（-a-ba+bx0，a-ba+by0）.

笔者认为，通过上述迁移引申，不但激发了学生对教材习题研究的热情，还能使学生做一题，会一法，通一类，会一片.更主要是利用知识的迁移规律培养学生自主探索，发现问题和举一反三的能力，得到事半功倍的效果，实现高效备考.