突破数形结合问题

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.

突破一 数形结合在集合中的应用

例1 （1）设集合A={x|1

（2）设全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M∩

（3）设平面点集A={（x，y）|（y-x）（y-1x）≥0}，B={（x，y）|

（x-1）2+（y-1）2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为 .

分析：第（1）问需要结合数轴将数集表示在数轴上，这样才能清晰地解决问题.（2）第二问题可画出韦恩图则得到相应的结论.（3）可将平面点集在坐标平面上表示出来，观察图象帮助求A∩B.

解：（1）

{x|1

{x|x3}={x|3

（2）画出韦恩图，如图1，可知N={1，3，5}.

（3）由（y-x）（y-1x）≥0可知

y-x≥0，

y-1x≥0，

或者

y-x≤0，

y-1x≤0.

在同一坐标系中作出平面区域如图2，由图象可知A∩B的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为π2.

图1 图2

点评：不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意.

同时要利用数轴、韦恩图及函数图象来寻求集合的概念和集合的关系.

突破二 函数图象的价值

例2 已知两条直线 l1：y=m和l2：

y=82m+1（m>0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B ，

l2与函数

y=|log2x|的图象从左至右相交于C、D .记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为

a、b，当m 变化时，

b/a的最小值为 .

分析：可在同一坐标系中画出y=m、

y=82m+1（m>0） 的图象，在坐标系中直观地研究投影之间的关系.

解：在同一坐标系中作出y=m，y=

82m+1（m>0），

y=

|log2x| 图象如图3，

由

|log2x|=m，得

x1=2-m，x2=2m，又由

|log2x|=82m+1，得

x3=2-82m+1，x4=282m+1.

图3

依照题意得

a=|2-m-2-82m+1|，b=|2m-282m+1|，

ba=

|2m-282m+1||2-m-2-82m+1|

=2m282m+1=2m+82m+1.

因为m+82m+1

=m+12+4m+1/2

-12

≥4-12

=312

，所以（ba）min=82.

点评：在同一坐标系中作出y=m、

y=82m+1（m>0），

y=|log2x|图象，结合图象可解得.

突破三 数形结合解决线性规划问题

例3 已知变量x，y满足约束条件

x+2y≥2，

2x+y≤4，

4x-y≥-1，

则目标函数z=3x-y的取值范围是 .

分析：本题可将不等式组所表示的平面区域表示出来，作出可行域，从而利用数形结合找出最优解即可.

图4

解：作出不等式所表示的区域如图4，由z=3x-y，得

y=3x-z，平移直线y=3x，由图象可知当直线经过点E（2，0）时，直线y=3x-z的截距最小，此时z最大为

z=3x-y=6.当直线经过C点时，直线截距最大，此时z最小，由

4x-y=-1，

2x+y=4

，

解得

x=1/2，

y=3.

，此时

z=3x-y=32-3=-32.所以

z=3x-y的取值范围是

[-32，6].

点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质解决问题.