时间：2022-09-11 02:43:46
立体几何中的点、线、面的位置关系,特别是平行和垂直关系是高考考查的重点,线面平行与线面垂直的证明又是其中的一种常见情形。分析、解答这类题目主要从以下三步着手：(1) 从“定量”到“定性”分析；(2) 从“定形”到“定量、定性”上分析；(3) 从方法上分析。
类型一：直线与平面平行的证明
【例１】 在三棱柱ABCA1B1C1中,A点在底面A1B1C1上的射影是正A1B1C1的中心.E为侧面BB1C1C对角线BC1上一点,且BE=2EC1,
证明：OE∥平面AA1C1C．
分析 (1) 从“量”上分析:①从BE=2EC1知E是一个三等分点(离C1较近);②从正A1B1C1,O是A1B1C1的中心,知O是A1B1C1的重心,隐含O是B1C1边上中线的一个三等分点,与E点有遥相呼应之感；
(2) 从“形”上分析：由相似三角形的原理知延长CE与B1C1的交点必是B1C1的中点H,从而根据重心知识知A1、O、H共线,这样可形成A1HC；同时可联想B1C1的中点是建立联系的纽带；
(3) 从方法上分析：应用线面平行的判定定理证明,设法在平面内找到平面外的直线OE的平行线,俗称“找线法”。
证明 连接CE并延长,交B1C1于点H,因为BC∥B1C1,BE=2EC1,所以BCE∽C1HE,且BC=2C1H,所以H点为B1C1的中点.
又因为点A在底面正A1B1C1内的射影点O是A1B1C1的中心,所以O是A1B1C1的重心,显然A1、O、H共线.且A1O=2OH.
在HCA1中,CE=2EH,A1O=2OH,所以HEO∽HCA1,所以EO∥CA1.又EO平面AA1C1C,CA1平面AA1C1C,所以OE∥平面AA1C1C．
点拨
(1) 从图形上可联想有一个三角形,过OE且与平面AA1C1C有一条交线,故联想到B1C1的中点；
(2) 在添加辅助线时,易出现错误.如：连CE交B1C1于H点,连A1、O、H等形式的错误；
(3) 除用判定定理证明外,也可以构造平面与平面AA1C1C平行,利用面面平行的性质来证明。
总结:证明线面平行的方法有：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质定理等方法,常用的是线面平行的判定定理。
类型二：直线与平面垂直的证明
【例2】 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC且BC=2AB=2AD=2,侧面PAD是等边三角形,PB=PC=2,求证：PC平面PAB.
分析 (1) 从“量”上分析：底面的等腰梯形中,可得出其他的基本关系,作AHBC垂足为H,知BH=12,故易知∠ABC=60°,在ABC中由余弦定理易知AC=3,在PAC,PA=1,PC=2,AC=3,易知PCPA；在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2，易知PCPB；
(2) 从“形”上分析：应联想到PC应垂直平面PAB中两条相交的直线
PB,PA,AB中的其中两条即可,可联想连接AC,用勾股定理证明；
(3) 从方法上分析：应利用线面垂直的判定定理,
设法在平面PAB内找到与PC垂直的两条相交直线。
证明 由条件易知在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2,故PB2+PC2=BC2，即∠BPC=90°,故PCPB.在等腰梯形ABCD中,
由BC=2AB=2AD=2,得BC=2,AB=AD=DC=1,
作AHBC于点H,得BH=12,所以在RtABH中，∠ABH=60°；
又在ABC中使用余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=3，
所以在APC中,PA=1,AC=3,PC=2，满足勾股定理,即∠APC=90°,即PCPA，
由上可知PCPA,PCPB,PA∩PB=P,所以PC平面PAB．
点拨
(1) 本题从找线出发,联想到要证PCPA与PCPB,而PCPA是本题的一个难点；
(2) 本题最终在APC中利用勾股定理证得PCPA,亦可以通过AB平面PAC,证得PCAB得到。
总结:证明线面垂直的方法有：定义法、线面垂直的判定定理法、面面垂直的性质定理等方法,常用的是线面垂直的判定定理。
恃国家之大，矜民人之众，欲见威于敌者，谓之骄兵。――魏相
类型三：利用线面平行、垂直的性质的探索性问题
【例3】 已知三棱锥PABC中,ABC是边长为2的正三角形,PC平面ABC,PA=22,E为PB的中点,F为AC的中点,试在线段PC上找一点Q,使得AE∥平面BFQ．
分析
(1) 从“量”上分析：ABC为正三角形,PA=22,易得PC=2；从而知PB=22；
(2) 从“形”上分析：AE平面PAB,且AE∥平面BFQ；PBC
为等腰直角三角形；同时可以联想在平面BFQ内有一条与ＡＥ平行的线；
(3)从方法上分析：利用线面平行的性质,通过线面平行得出线线
平行,从而确定Q点的位置。
解 因为ABC是边长为2的正三角形,所以AC=2；
又因为PC平面ABC,AC、BC平面ABC,所以PCAC,PCBC,所以PAC为直角三角形,所以PC2=PA2-AC2=4,即PC=2,所以PBC是以C为直角顶点的等腰直角三角形.不妨在PC上取一点Q,假设满足AE∥平面BFQ,则由线面平行的性质定理,连接CE交BQ于点H,连接HF,作出平面AEC.因为AE∥平面BFQ,
AE平面AEC,平面AEC∩平面BFQ=FH,所以AE∥FH；
显然在AEC中,F为AC的中点,所以H为EC的中点．
过E作EG∥BQ,交PC于点G；
在CEG中,HQ∥EG,H为EC的中点,所以Q为GC的中点,故GQ=QC；
在PBQ中,EG∥BQ,E为BP的中点,所以G为PQ的中点,故GQ=PG；
所以PG=GQ=QC,故Q为PC的一个三等分点且靠近C点；因为PC=2,所以QC=23．
点拨 (1) 取Q点形成平面BFQ,利用线面平行的性质定理得AE∥FH,从而知H为EC的中点；
(2) 在PBC中求Q的位置,除了用本题的方法外,还可以把PBC平面化,利用解析几何知识建立直角坐标系,求出Q点的坐标,从而确定Q的位置；
(3) 学理科的同学还可以通过建立空间直角坐标系,通过求Q的坐标,确定Q的位置。
总结:线面平行的探索性问题常用的解题步骤是：(1) 假设点在某处；(2) 利用线面平行的性质得出线线平行；(3) 通过线线平行确定点的位置。
【例4】 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,
BC=2AB=2AC=2,CC1=1,D为B1C1的中点,
AE平面BB1C1C,试在CC1上找一点Q,使得EQ平面A1DC．
分析
(1) 从“量”上分析：BC=2,AB=1,AC=1得∠BAC=90°；CC1=1,可知侧棱长均为1；
(2) 从“形”上分析：AE平面BB1C1C,则必有AEBC,即E为BC的中点；同时可以联想在平面BB1C1C内应该有一条易证的,且与平面A1DC垂直的直线；
(3) 从方法上分析：应利用线面垂直的性质,先找出平面的一条垂线,
再过E作所找垂线的平行线。
解 连接BC1,交DC于O点.因为三棱柱ABCA1B1C1
为直三棱柱,所以BB1C1C为矩形,则由长度关系知：BB1B1C1=DC1C1C=22,所以BB1C1∽DC1C,易得BC1DC.根据D是BB1的中点,且A1B1=A1C1得A1DB1C1.又因为CC1平面A1B1C1,A1D平面A1B1C1,得CC1A1D.所以由A1DB1C1,CC1A1D,B1C1∩CC1=C1得A1D平面BB1C1C,因为BC1平面BB1C1C,所以A1DBC1；因为A1DBC1,BC1DC,A1D∩DC=D得BC1平面A1DC1．
又根据题意,AE平面BB1C1C知AEBC,因为ABC为等腰三角形,所以E为BC的中点；故要使得EQ平面A1DC,只需EQ∥BC1；在BCC1中,EQ∥BC1且E为BC的中点,故Q为CC1的中点；综上所述,Q的位置在CC1的中点．
点拨
(1) 根据线面垂直的性质,要找到EQ平面A1DC,只需先找到一条平面A1DC的垂线,即可通过平行线找到EQ；
(2) 本题理科学生也可以通过建立空间直角坐标系求出Q点的坐标,确定Q点的位置。
总结:线面垂直的探索性问题的一般步骤是：(1) 假设点在某处；(2) 找到已知平面的一条垂线；(3) 通过作已知平面垂线的平行线,确定要找的点的位置。
牛刀小试
1. 三棱锥PABC中,E、F是PA、PB的中点,O是AC的中点,G是OC的中点,证明：FG∥平面BOE.
2. 三棱锥PABC中,D是AB的中点,E在PB上,且PE=2BE,在PB上确定一个点Q,使得DE∥平面ACQ．
3. 四棱锥SABCD中,AB∥CD,BCCD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1,O为AC与BD的交点,试在SB上找一点E,使得OE平面SAB．
【参考答案】
1. 证明：连接AF交BE于点H,连接OH,因为O是AC的中点,
G是OC的中点,所以AOAG=23；在PAB中,BE,AF均为三角形的中线,故AF与BE的交点H是PAB的重心,
所以AHAF=23.所以在AFG中,AOAG=AHAF=23,
由相似三角形知识得OH∥FG；
又因为OH平面BOE,FG平面BOE,所以FG∥平面BOE．
2. 证明：因为ABCD是正方形,所以AD=DC=1,又因为PC=2,所以PD2+DC2=PC2,即PDDC.又因为PDDC,PDBC,DC∩BC=C,所以PD平面ABCD．
2. 在PB上取点Q,作平面ACQ,假设DE∥平面ACQ；因为DE∥平面ACQ,DE平面PAB,平面PAB∩平面ACQ=AQ,所以DE∥AQ.ABQ中,DE∥AQ,D是AB的中点,所以E为BQ的中点.所以BE=EQ=13PB=PQ,即Q为PE的中点,亦可答：Q是PB的一个三等分点且靠近P点．
3. 在四边形ABCD中,过D作DHAB于点H,在四边形ABCD中,
因为AB∥CD,AB=2,CB=2,CD=1,所以AH=1,DH=2,故AD=5．
在SAD中,SA=2,SD=1,AD=5,则SA2+SD2=AD2,
所以SDSA.BCD中,CD=1,BC=2,BCCD,则BD=5．
故在SDB中,SD=1,SB=2,BD=5,所以BD2=SD2+SB2,所以SDSB．
因为SDSA,SDSB,SA∩SB=S,所以SD平面SAB．
要在SB上找一点E,使得OE平面SAB,只需作出SD的平行线即可．
根据CD∥AB,
易得OCD∽OAB,得O为DB的三等分点(靠近D点),
故在SDB中,OE∥SD,显然E是SB的三等分点(靠近S点)；
又因为SB=2,所以E在SB上,且SE=23．
（作者：施建华，启东市江海中学）