圆锥曲线题型的常用解法

1.定义法

（1）椭圆、双曲线有两种定义.第一定义中，与两个定点距离问题正用定义；点在椭圆、双曲线上时逆用定义.第二定义中，常常将焦半径与“点到准线的距离”互相转化.

（3）抛物线只有一种定义，就是单一的焦半径与“点到准线的距离”互相转化，很多抛物线问题直接用定义解决.

例1设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF斜率为-3，那么|PF|=().

A.43 B. 8 C.83D. 16

解析选B.利用抛物线定义，易证PAF为正三角形，则|PF|=4sin30°=8.

2.点差法

“点差法”，在解析几何的运算中，是设一些量而并不解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决.这种方法的优点是“设而不求”.“点差法”是直线与圆锥曲线相交的弦中点问题的通解通法，一般模式：设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法.

例2（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为.

解析抛物线的方程为y2=4x， A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1≠x2,y21=4x1,

y22=4x2.

两式相减得，y21-y22=4(x1-x2),所以y1-y2x1-x2=4y1+y2=1.

所以直线l的方程为y-2=x-2，即y=x.

3.韦达定理法

用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，把直线方程代入圆锥曲线方程，韦达定理、弦长公式、判别式是高考解析几何重要解题思路.

例3设椭圆方程为x2+y24=1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足OP=12(OA+OB)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.

解析直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.

记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组

y=kx+1

x2+y24=1①

②的解.将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以x1+x2=-2k4+k2,

y1+y2=84+k2.

于是 OP=12(OA+OB)=(x1+x22,y1+y22)=(-k4+k2,44+k2).

设点P的坐标为(x,y),则x=-k4+k2,

y=44+k2.消去参数k得4x2+y2-y=0③.

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.

4.数形结合法

“数”与“形”反映了事物两个方面的属性, 数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系, 是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”.

例4（2010湖北理数）若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点，则b的取值范围是().

A.［-1,1+22］B.［1-22,1+22］

C.［1-22,3］D.［1-2,3］

解析曲线方程可化简为(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3)，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆.依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得b=1+22或b=1-22.因为是下半圆故应将b=1+22舍.当直线过（0，3）时，解得b=3.故1-22≤b≤3,所以C正确.

5.参数法

（1）有向线段的数量t为参数：当圆锥曲线问题与“距离”和“方向”有关时，常用有向线段的数量t为参数.

（1）点参数：动点在已知曲线上时，常设点参数，如圆的点参数常设为P（rcosα，rsinα)（α是参数且α∈［0,2π)）； 如椭圆的点参数常设为P（acosα,bsinα）（α是参数且α∈［0,2π))；x轴上一动点P，常设P（x，0）；直线x-y+1=0上一动点P，除设P（x1,y1）外，也可直接设P（x,x+1）.

（2）斜率为参数：当直线的截距为定值或过某一定点P(x0,y0)时，常以k为参数，再按命题要求依次列式求解等.

例5设点P（x，y）在椭圆x216+y29=1，试求点P到直线x+y-5=0的距离d的最大值和最小值.

解点P（x，y）在椭圆x216+y29=1上，设点P（4cosα,3sinα）（α是参数且α∈［0,2π)），

则d=|3cosα+4sinα-5|42+32=|5sin(α+arcsin35)-5|5.

当α=π2-arcsin35时，距离d有最小值0，此时椭圆x216+y29=1与直线x+y-5=0相切；当α=3π2-arcsin35时，距离d有最大值2.