圆锥曲线与平面向量的交汇

由于平面向量具有代数和几何形式的双重身份，这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体.因此在向量与圆锥曲线的交汇处设计试题，已经逐渐成为各省市考查的热点之一. 本文就这一类问题进行分析，以便同学们能够准确地理解这类问题，掌握解决的方法和技巧.

求轨迹的方程

例1 已知两点[A（3，2），B（-1，6）]，若点[C]满足[OC=][αOA+βOB]，其中[α，β∈R]且有[α2+β2=1]，求[C]的轨迹方程.

分析 将向量表达式转化成代数表达式，消去参数[α，β]得到[C]的轨迹方程.

解 设[C（x，y）]，由[OC=αOA+βOB]得，

[x=3α-β，y=2α+6β，][][α2+β2=1]，

[4x2+y2=36α2-24αβ+4β2+4α2+24αβ+36β2]

[=40（α2+β2）=40].

[C]的轨迹方程为[x210+y240=1].

求字母[λ]的值

例2 已知中心在原点，左，右顶点分别为[A1，A2]，离心率为[e=213]的双曲线[C]经过点[P（6，6）]，动直线[l] 经过点[（0，1）]与双曲线[C]交于[M，N]两点，[Q]为线段[MN]的中点.

（1）求双曲线[C]的标准方程；

（2）若[E（1，0）]，且[EQ=λA2P]，求[λ]的值.

分析 第一问先设出双曲线方程，然后利用已知条件求出. 第二问通过设两点坐标，然后利用韦达定理和微量关系式，求出[λ]的值.

解 （1）设双曲线方程为[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），]

[e=213，ca=213，b2=43a2.]

又双曲线过点[P（6，6）]，即[C：36a2-36b2=1]，

解得[a2=9，b2=12，]

[]双曲线[C]的方程为[x29-y212=1.]

（2）[]直线[l]经过点[（0，1）]，且与双曲线有两交点，

[][l]的斜率存在，

设[l]的方程为[y=kx+1，]代入[x29-y212=1]得，

[（4-3k2）x2-6kx-39=0]，

[]直线[l]与双曲线有两交点，

[4-3k2≠0，Δ>0，] 解得[k2

设[M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），] 由韦达定理得，

[x1+x2=6k4-3k2，]

[x0=x1+x22=3k4-3k2，][y0=kx0+1=44-3k2，]

[Q（3k4-3k2，44-3k2）].

[EQ=（3k4-3k2-1，44-3k2）]，

[A2P=（3，6）]且[EQ=λA2P]，

[6×（3k4-3k2-1）-3×（44-3k2）=0]，

化简得[k2+k-2=0，k=1]，或[k=-2]（舍）.

[EQ=（2，4）]，[λ=23].

故存在[λ=23]，使得[EQ=λA2P].

求字母[λ]的取值范围

例3 已知圆[C： （x+1）2+y2=8]，定点[A（1，0）]，[M]为圆上一动点，点[P]在[AM]上，点[N]在[CM]上，且满足[AM=2AP，NP?AM=0]，点[N]的轨迹为曲线[E].

（1）求曲线[E]的方程；

（2）若过定点[F（0，2）]的直线交曲线[E]于不同的两点[G，H]（点[G]在[F，H]之间），且满足[FG=λFH]，求[λ]的取值范围.

分析 第一问利用椭圆的定义，求出椭圆的方程. 第二问把直线方程代入椭圆方程，然后通过向量的横坐标的关系，利用基本不等式得出[λ]的取值范围.

解 （1）[AM=2AP，NP?AM=0]，

[NP]为[AM]的垂直平分线，[|NA|=|NM|].

又[CN+NM=22，CN+NA=22>2.]

[]动点[N]的轨迹是以点[C（-1，0），A（1，0）]为焦点的椭圆，其长轴长为[2a=22，] 焦距[2c=2].

[a=2，c=1，b=1.]

[]曲线[E]的方程为[x22+y2=1].

（2）①当直线[GH]的斜率存在时，设直线[GH]的方程为[y=kx+2]，代入椭圆方程[x22+y2=1]得，

[（1+2k2）x2+8kx+6=0.]

由[Δ>0]得，[k2>32.]

设[G（x1，y1），H（x2，y2），]

则[x1+x2=-8k1+2k2，x1x2=61+2k2.]

又[FG=λFH]，

[（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2）]，[x1=λx2.]

[x1+x2=（1+λ）x2，x1x2=λx22，]

[（x1+x21+λ）2=x22=x1x2λ.]

[（-8k1+2k2）2（1+λ）2=61+2k2λ]，整理得[（1+λ）2λ=163（12k2+1）].

[k2>32]，[4

[4

又点[G]在[F，H]之间，[0

②当直线[GH]的斜率不存在时，

则方程[x=0，][λ=13.]

故所求[λ]的取值范围是[13，1.]

研究点的存在性问题

例4 已知椭圆[C： x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的离心率为[33]，过右焦点[F]的直线[l]与C相交于A，B两点，当[l]的斜率为1时，原点[O]到[l]的距离为[22.]

（1）求[a，b]的值；

（2）C上是否存在点P，使得当[l]绕F转动时，有[OP=OA+OB]成立？若存在，求出所有的P的坐标；若不存在，说明理由.

分析 第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算. 第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理.

解 （1）设[F（c，0）]，当[l]的斜率为1时，其方程为[x-y-c=0，O]到[l]的距离为[0-0-c2=c2]，

故[c2=22]，[c=1].

由[e=ca=33]得，[a=3，b=a2-c2=2.]

（2）假设C上存在点[P]，使得当[l]绕[P]转到某一位置时，有[OP=OA+OB]成立.

由（1）知C的方程为[2x2+3y2=6].

设[A（x1，y1），B（x2，y2），]

（。┑[l]不垂直[x]轴时，设[l]的方程为[y=k（x-1）]，

C上的点P使[OP=OA+OB]成立的充要条件是P点的坐标为[（x1+x2，y1+y2），]且[2x1+x22+3y1+y22=6].

整理得[2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6].

又[A，B]在[C]上，即[2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，]

故[2x1x2+3y1y2+3=0].①

将[y=k（x-1）]代入[2x2+3y2=6]，

并化简得，[2+3k2x2-6k2x+3k2-6=0]

于是[x1+x2=6k22+3k2，x1x2=3k2-62+3k2，]

[y1y2=k2x1-1x2-2=-4k22+3k2.]

代入①解得，[k2=2]，此时[x1+x2=32].

于是[y1+y2=kx1+x2-2=-k2，] 即[P32，k2].

因此， 当[k=-2]时，[P32，22].

当[k=2]时，[P32，-22].

（）当[l]垂直于[x]轴时，由[OA+OB=2，0]知，C上不存在点P使[OP=OA+OB]成立.

综上，[C]上存在点[P32，±22]使[OP=OA+OB]成立，

已知字母[λ]的范围，求解其它问题

例5 已知双曲线[C]的方程为[y2a2-x2b2=1][（a>0，b>0）]，离心率[e=52]，顶点到渐近线的距离为[255].

（1）求双曲线[C]的方程；

（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若[AP=λPB，λ∈13，2]，求[AOB]面积的取值范围.

分析 第一问是利用已知条件求出双曲线的[a，b，c]的值，得到双曲线的方程，第二问利用面积公式[S=12absinC]，得到关于[λ]的函数，又已知[λ]的范围，利用基本不等式求出面积的范围.

解 （1）由题意知，双曲线[C]的顶点[（0，a）]到渐近线[ax-by=0]的距离为[255]，

所以[aba2+b2=255]，所以[abc=255].

由[abc=255，ca=52，c2=a2+b2，]得，[a=2，b=1，c=5.]

所以曲线[C]的方程是[y24-x2=1].

（2）由（1）知双曲线[C]的两条渐近线方程为[y=±2x].

设[A（m，2m），B（-n，2n），m>0，n>0]，设[P（x，y）]，

由[AP=λPB，] 得[（x-m，y-2m）=λ（x+n，y-2n）]，

解得点[P]的坐标为[m-λn1+λ，2（m+λn）1+λ]，

将[P]点的坐标代入[y24-x2=1]，

化简得，[mn=1+λ24λ].

设[AOB=2θ，][tanπ2-θ=2，][tanθ=12，sin2θ=45].

又[OA=5m，OB=5n]，

[SAOB=12OA?OB?sin2θ=2mn=12λ+1λ+1.]

记[Sλ=12λ+1λ+1，λ∈13，2]，

由对勾函数的性质知，[Sλ]在[13，1]上递减，在[1，2] 上递增，

又[S（1）=2]，[S13=83，S2=94，]

当[λ=1]时，[AOB]面积取到最小值2，当[λ=13]时，[AOB]面积取到最大值[83].

所以[AOB]面积范围是[2，83].

通过以上例题，我们可以得到解平面向量与圆锥曲线交汇题的一般方法是：设出点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的运算法则，将向量关系转化成代数关系.然后再应用函数、方程、不等式、数列等知识来求解.虽然这类问题有一定的难度，但掌握基本的方法和技巧后，定会游刃有余的.