浅析静电场中等势面的应用

一、在等势面上移动电荷电场力不做功的应用

根据W=q（φa-φb）可知，当φa=φb时，W=0，因此在等势面上移动电荷电场力不做功.

图1例1 如图1所示，粗糙程度均匀的绝缘斜面下方O点处有一正点电荷，D点为O点在斜面上的垂足，OM=ON.带负电的小物体以初速度v1=5 m/s从M点沿斜面上滑， 到达N点时速度恰好为零，然后又滑回到M点时速度大小变为v2=3 m/s.若小物体电荷量保持不变，可视为点电荷.

求：N点离斜面底边的高度h为多少？

解析 由于M、N距O处正点电荷的距离相同，故M、N为等势点，所以带电体在两点间运动时电场力做功为零，设物体从M到N时，克服摩擦力做的功为Wf，当物体从M到N时，由动能定理有-mgh-Wf=0-12mv21，物体从N到M时，由动能定理有mgh-Wf=12mv22-0， 联立得h=v21+v224g，代入数据得h=0.85 m.

二、等势面与电场线垂直的应用

电场线与等势面垂直，则确定了等势线，就可确定电场强度的方向.

图2例2 匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图2所示.已知电场线的方向平行于ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14V、6V和2V.设场强大小为E，一电量为1×10-6C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则（ ）.

A.W=8×10-6J，E>8 V/m

B.W=6×10-6J，E>

C.W=8×10-6J，E≤8 V/m

D.W=6×10-6J，E≤6 V/m

图3解析 如图3所示，由题匀强电场中，根据在匀强电场内同一条直线上电势差与直线距离成比例，由于D为AB的中点，则D点的电势φD=φA+φB2=10 V，电荷从D点移到C点电场力所做的功为W=qUDC=q（φD-φC）=8×10-6J. 将AC三等分，则φE=10V，φF=6V，B、F为等势点，BF为等势线，由于电场线与等势线垂直，过A做BF的垂线即为电场线.根据E=Ud可知，UAO=14-6=8V，d=AO8V/m.

故选A.

三、在匀强电场中等势线是一簇平行的直线的应用

匀强电场中的等差等势线是一簇平行的直线，与电场线垂直.若已知匀强电场中一条等势线，则与之平行的直线也必是等势线.

图4例3 如图4所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA=15 V，φB=3 V，φC=-3 V， 由此可得D点电势为：

A.6 V B.9 V

C.12 V D.15V

图5解析 连接AC，将AC三等分，标上三等分点E、F，如图5所示，则根据匀强电场中沿电场线方向相等距离，电势差相等可知，E点的电势为3V，F点的电势为9V.连接BE，则BE为一条等势线，根据几何知识可知，DF∥BE，则DF也是一条等势线，所以D点电势φD=9V，故选项B正确.

图6此题也有另一种解：如图6所示可知，AB、DC边长在电场线上的投影长度AO1、DO2是相等，由电势差与电场强度的关系U=Ed可知，φA-φB=φD-φC，所以15V-3V=φD-（-3），φD=9V.

四、等势面结合带电粒子运动轨迹的应用

在静电场中经常会遇到等势面结合带电粒子运动轨迹的问题，且带电粒子运动轨迹经常是曲线.对于此类问题，在分析时要紧紧抓住曲线运动的条件（即在曲线运动中，粒子所受到的合力必定指向曲线运动内侧）解题.

图7例4 如图7所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面间的电势差相等如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，Uab=Ubc，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知（ ）.

A.三个等势面中，a的电势较高

B.带电质点通过P点时的电势能较大

C.带电质点通过P点时的动能较大

D.带电质点通过Q点时的加速度较大

解析 根据电场线与等势面垂直，过P点做虚线a、b、c的垂线即为电场线.由曲线运动中，粒子所受到的合力必定指向曲线运动内侧可知，电场力的方向（如图所示），又因为带电粒子是正电荷则可知电场线的方向（如图所示）.A.电荷所受电场力指向轨迹内侧，由于电荷带正电，因此电场线指向右下方，沿电场线电势降低，故c的电势最高，故A错误；B.根据质点受力情况可知，从P到Q过程中电场力做正功，电势能降低，动能增大，故B正确，C错误；D.等势线密的地方电场线也密，电场强度大，所受电场力大，因此P点的加速度也大，故D错误.

故选B.

此题要把握住以下几个知识点：

1.电场线与等势面垂直；

2.在曲线运动中，粒子所受到的合力必定指向曲线运动内侧；

3.等势面的疏密代表了电场的弱强；

4.只有电场力做功（即电场力为带电粒子所受合外力）与粒子运动中的动能和电势能变化的关系：W电=ΔEk，W电=-ΔEp.

五、等势面结合能量守恒的应用

在静电场中若只有电场力做功，则带电粒子的动能和电势能的总和保持不变；若只有电场力和重力做功，则带电粒子的动能和电势能加重力势能的总和保持不变.

图8例5 如图8中虚线所示为静电场的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为零。一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点的动能分别为26eV和5eV，当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为-8eV时，它的动能应为（ ）.

A.8eV B.13eV C.20eV D.34eV

解析 在只有电场力做功的条件下动能和电势能的总和保持不变，故有

EKa+EPa=EKb+EPb

①

所以26eV+EPa=5eV+EPb，EPb-EPa=26ev-5eV=21eV

②

根据EP=qφ可知φb>φa，由于相邻等势面之间的电势差相同，等势面3的电势为零，设等势面4的电势为φ，则等势面a的电势-2φ，代入②式得qφ-（-2qφ）=3qφ=21eV，qφ=7eV.正电荷的能量故有EK+（-8eV）=5 eV+7 eV，EK=20 eV.故C正确.

此题也有另一种解法：由a、b点的动能分别为26 eV和5 eV可得带正电的点电荷经过2等势面时的动能EK2应为19 eV，经过3等势面时的动能EK3应为12eV；由于等势面3的电势为零，根据EP=qφ有EP3=0，根据只有电场力做功的条件下动能和电势能的总和保持不变有EK+（-8 eV）=EK3+0，故EK=20 eV.故C正确.

六、等量异种电荷等势面的应用

等量异种点电荷等势面分布有一个明显的特点：即等量异种点电荷连线的垂直平分线是等势线.若以无穷远处为零电势点，则两异种点电荷连线的垂直平分线上的任意一点电势均为零

例6 如图9所示，Q1和Q2是等量异种点电荷，M、N是两个点电荷连线的垂直平分线上的两点，将正电荷q从无限远处移到电场中，下述说法不正确的是（ ）.

图9A.将q沿中垂线移到M点与N点电场力做的功相同

B.因不知道M、N两点的具置，所以无法比较移到M、N两点做功的多少

C.取无限远处电势为零，A点的电势大于零

D.取无限远处电势为零，B点的电势小于零

解析 M、N两点在同一个等势面上，且中垂面的电势与无限远处相同（即φM=φN=0），所以沿等势面移动电荷电场力不做功，故A选项正确，B选项不正确；沿着电场线电势逐渐降低，根据等量异种电荷的电场线的分布与等量异种电荷垂直平分线上的电势为零可知，A点的电势大于零，B点的电势小于零，故C、D正确.综上所述B错误，故选择B.

七、等差等势面的疏密反映了电场的强弱的应用

电场强度与等势面的关系是等差等势面的疏密反映了电场的强弱.

图10例7 图10中实线表示电场中的三个等势面，各等势面的电势值如图所示.把一个负电荷沿ABC移动，电荷在这三点所受的电场力为FA、FB、FC，电场力在AB和BC段做的功为WAB和WBC，那么 （ ）.

A.FA=FB=FC，WAB=WBC

B.FA

C.FA>FB>FC，WAB

D.FA>FB>FC，WAB=WBC

解析 根据等差等势面的疏密反映了电场的强弱的应用，所以由图可知EA>EB>EC，由F=qE可知，FA>FB>FC，故A、B 两个选项错误；根据W=qU可知，WAB=WBC，故正确选项为D.

（收稿日期：2015-09-16）