特殊平行四边形性质与判定的综合运用

摘要：提高特殊平行四边形的运用能力，为今后深入学习打下坚实的基础。

关键词：特殊平行四边形；性质 ； 判定 ； 运用

平行四边形是在学习了平行线和三角形之后，是平行线和三角形知识的应用和深化。同时又是为了后面学习矩形、菱形、正方形、圆，甚至高中立体几何打基础的，起着承上启下的桥梁作用。

一、平行四边形本身的性质

平行四边形具有较多的性质，比如平行四边形对角相等以及对边相等等性质，另外， 利用平行线的性质可以知道平行四边形的内错角相等，边延长线也可以引用平行线的性质得出同位角相等，这些性质在实际解题中均会经常用到，而且这些性质之间可以相互“转化”。首先，利用两个全等三角形拼成平行四边；然后，从这对全等三角形拼出的平行四边形，就可以得出平行四边形“对边相等”、“对角相等”的性质，特别是这一性质的证明更能体现这一数学思想，通过旋转和平移三角形，证明结论，作为教师在整个教学设计过程中需要注重通过转化的思想方法，将平行四边形的问题转化为三角形的问题来解决，就能更好地解决教学内容的重点。

二、添加辅助线将平行四边形化为三角形

添加辅助线将平行四边形化为三角形是初中阶段研究四边形问题的常用方法，它也是转化思想的重要体现。连接对角线，把平行四边形分割成两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质得出平行四边形的性质，是研究平行四边形的一个重要方法，并且会用“对折”可以画中线、角的平分线、中位线等；“平移”就可以画平行线，找同位角、内错角、同旁内角等；“旋转”就可以画60°、90°、180°的角构造三角形等方法；以此引导学生添加适当的辅助线，把未知化为已知，利用已学过的知识来解决新的问题，提高学生分析、解决问题的能力。当然，学生在学完了平行四边形性质后，就可以直接运用平行四边形性质解决的问题，不是再通过添加辅助线转化为平行线或三角形来解决，在构造全等三角形中兜圈子，而是运用新知识来解决问题，这就要培养学生熟练应用此性质的习惯。

三、 平行四边形性质在证明题中的应用

平行四边形的诸多性质在初中几何证明题的解题过程中经常用到，例如证明线段相等，证明两角相等，证明线段的和差倍分，证明两直线垂直等解题中均常见。因此平行四边形在初中阶段的几何解题中起着非常重要的作用，对平行四边形性质的灵活应用也是初中几何教学的重点和难点。例如，证明两线段相等问题，已知：M是等腰三角开ABC的底边上一点，过M作ME//AC交AB于E，作MF//AB交AC于F ，试说明：BE=AF、CF=AE。这个题目就要先说明四边形AEMF是平行四边形，再利用平行四边形对边相等的性质，并结合等腰三角形性质来进行解决。

四、在解题的过程中经常要作辅助线

作辅助线是解题的关键，可以将看似无关的边角联系到一起。

1、平行四边形中作辅助线可以将四边形转化为三角形，利用三角形的性质解题。

2、三角形中作平行线，制造平行四边形利用平行四边形的性质解题

例1 已知：如图ABCD，E、F是直线BD上两点，且DE=BF.求证：AE=CF.

证1 ABCD是平行四边形，连结AC交于BD于O，

则OA=OC，OB=OD. —平行四边形对角线互相平分

DE=BF， OD+DE=OB+BF，

即：OE=OF.

∠AOE=∠COF， AOE≌COF（SAS）， AE=CF.

证2 ABCD是平行四边形， AD=BC，AD∥CB.

∠ADB=∠CBD， ∠ADE=∠CBF. DE=BF.

ADE≌CBF（SAS）， AE=CF.

例2 已知：如图，RtABC中，ACBC，CDAB，AE平分∠BAC，EF∥AB.

通过桥梁EM，使BF、CE的相等关系得证。〖BG）〗

BF、CE是分散的、没有直接联系，

通过桥梁EM，使BF、CE的相等关系得证。求证：CE=BF.

证： 作EM∥BC，交AB于M.

EF∥AB MBFE是平行四边形，

EM=BF EM∥BF.

∠2=∠B. ACBC，CDAB， ∠B+∠CAB=90°，

∠1+∠CAB=90°， ∠1=∠B.

∠1=∠2. AE平分∠BAC，

∠3=∠4. AE为公共边，

AME≌ACE（AAS）. CE=EM. CE=BF.

在平时的教学中，我发现，学生对“添加一个条件”可能出现理解错误，因此在思路启迪中设计了“本题的已知条件是什么”的用语，如果有学生在课堂上仍然存在理解错误，用特殊四边形判定定理找出所缺条件，再找准辅助线。多讲一题多解的题目，提高学生对特殊四边形判定定理的运用能力。