集合在数学中的应用

【前言】集合在数学中的应用由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。思路2：等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，可用二次函数的方法处理 。 应用三：有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛...

集合是近代数学中的一个重要概念，集合思想已成为现代数学的理论基础，与高中数学的许多内容有着广泛的联系，中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。集合论的创始人是徳国数学家康托尔。他的集合思想的主要特征包括概括原则、外延原则、一一对应原则和实无穷思想。其概括原则用于造集，外延原则保证了集合的确定性，一一对应原则引出了基数概念，揭示了无穷集的本质特征。三个原则的采用，使数学中引入了实无穷思想。数学教师在教学中还可以运用集合思想建立数学概念系统，或在复习教学中帮助学生归纳、整理数学知识。对于数学学习来说，要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯：善于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题，下面谈谈教材在集合思想的突出应用：

应用一：中学数学中常见的集合有（1）数集；（2）方程（或方程组的）解集；（3）不等式（或不等式组）的解集；（4）点集。只有深刻理解集合概念，明确集合中元素的属性，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫，才能读懂用集合语言描述的数学命题，并顺利地用集合语言解答方程或不等式问题。例1：集合M={y∣y=x2-1，x∈R

更为重要的是，集合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形性质给出的点集和满足某性质P的实数对组成的集合建立起一一对应的关系，进而使中学数学能够用代数方法解答几何问题，能够对代数命题给出几何解释，还能够通过几何图形来解决代数问题。僻如新教材中球、椭圆、双曲线、抛物线等概念都是用集合定义的，形象又直观，便于学生理解。如用集合语言描述直线和平面位置关系.（1）点A在平面α内，记作A∈α，点B不在平面α内，记作B α；（2）直线l在平面α内，记作lα，直线m不在平面α内，记作mα；（3）平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β=l；（4）直线l和m相交于点A，记作l∩m={A}，简记为l∩m=A.再以圆为例，用集合思想理解“圆”的形成：实数对对应平面内的一个点，符合某种约束条件的所有点构成的集合便形成一个图形，比如，平面内到一个定点的距离等于定长的轨迹是圆即A=，这个约束条件就是此集合的特征性质，有共同特征性质的元素共同构成了一个集合。用集合语言可以方便地表示平面上以原点为圆心的单位圆周和单位圆面等，使学生感受集合语言在描述客观世界中具有某种特性的对象、在数学和数学学习中的意义和力量。进而发展学生运用数学语言来刻画现实世界，运用数学语言学习数学、进行交流的能力。应用二：主要表现为一个概念是另一个概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。

例3：数列{an}是等差数列，a1=50，d= -0.6，求此数列的前n项和的最大值。分析：数列的定义域是正整数集（或它的有限子集{1、2、3、4、……n}），因此可把数列作为特殊函数理解。思路1：表示等差数列的孤立的点在直线上，因此可应用单调性 。

由a1=50，d= -0.6，得an= -0.6n+50.6，令an≤0 ，有n≥84.3 。又 n，则n≥85，即从第85项起以后各项均小于0。所以（Sn）max=S84=2108.4

思路2：等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，可用二次函数的方法处理 。

应用三：有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。

a无解。因此，a≤1。布鲁纳说过，掌握数学思想可使数学问题更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。集合语言是现代数学的基本语言，集合语言的使用，有利于数学学习者和研究者之间简洁、准确地表达数学内容。将集合作为一种语言来学习，通过学习，促进学生运用数学语言进行交流的能力。另一方面，集合反映的数学思想，在越来越广泛的领域得到应用。只有掌握了集合的特征性质描述法及集合之间的相互关系，才有可能使学生简洁准确地表达数学对象和结构，更好地使用数学语言进行交流，进而培养学生运用集合的观点研究和处理数学问题的能力。