应用等价无穷小巧解考研高等数学试题

摘 要：在考研高等数学试题当中，“极限”知识点所占考核比重逐年提升，对考生考试成绩有着决定性的影响。掌握“极限”知识点的相关计算方法，备受考生的关注与重视。在现阶段，等价无穷小被证实能够达到合理提高“极限”知识点相关题目解题精确性与速度的目的。本文在简要分析等价无穷小解题方法的基础之上，结合考研高等数学试题，就如何应用等价无穷小解考研高等数学试题这一问题展开了较为详细的分析与阐述，希望能够引起各方人员的参考与关注，从而为考生解答相关试题题目提供一定的参考与借鉴。

关键词：等价无穷小 考研高等数学 解题 方法 分析

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（a）-0047-01

在数学分析，特别是求解考研高等数学试题的过程当中，等价无穷小是比较常用的概念与方法之一。实践研究结果证实：借助于对等价无穷小相关方法的合理应用，能够在很大程度上实现对计算流程的简化。特别是在高等数学考研试题当中，近年来，涉及到应用等价无穷小方法进行计算的题目越来越多，且所占分值也越来越多。如何在遇到这部分题型的过程当中，合理应用等价无穷小方法进行作答，在确保计算精确性的同时，实现对解题时间的合理控制，这一问题备受考生、以及教师的特别关注与重视。本文试针对以上相关问题做详细分析与说明。

1 等价无穷小基本概念分析[1]

数学分析研究的最核心对象为函数，而在有关函数研究的过程当中，最主要的方法是极限。通过对极限方法的应用，能够达到研究函数连续性、可微性、可积性的目的。从而极限在分析数学试题中有着至关重要的地位。在相关数学题，特别是极限问题的求解过程当中，借助于对等价无穷小方法的应用，能够通过代换方式使问题变得更加的简单化，从而使极限值更加容易求出。常规意义上来说，在x0的状态下，常见的等价无穷小定理包括以下几项内容：

（1）sin x～ x；

（2）arc sin x～ x

（3）tan x～ x

（4）In（1+x）～ x

（5）（1+x）1/n-1～ x/n

（6）ex-1～ x

2 等价无穷小方法在考研高等数学试题中的应用分析

（1）以2010年度，全国硕士研究生入学考试中“数学三”中的某选择题题目为例：若定义[1/x-（1/x-a）ex]=1。则可以计算得出a取值为（）。该选择题当中给出了如下四个基本选项：A选项为0；B选项为1；C选项为2；D选项为3。考生在求解该题目的过程当中，就可以应用等价无穷小方法完成对该题目的解答。具体的求解方式为：

对于该等式：[1/x-（1/x-a）ex]=1而言，可以通过拆分“a”数值的方式，将整个等级进行拓展。拓展后的等式为：[1/x（1-ex）+aex]=1。进一步拆分该等式，可按照如下步骤，得出有关a取值的等式。

[1/x（1-ex）+aex]=1

（拆分中括号中未知数，构建两个联立lim式）

1/x（1-ex）+aex

（前半部分为lim式保持不变，对后半部分式进行拓展处理）

1/x・（-x）+a

（进一步推定可直接简化为有关a取值的等式）

-1+a=1

由此可以推定a取值应当为2。故在此过程当中，选择C答案为正确答案。在上述解题过程当中不难发现：之所以能够仅通过五次操作步骤，得出正确的答案，就在于解题过程当中充分应用了等价无穷小的基本定理：即在x0的状态下，ex-1～x。由此达到了简化解题步骤的目的。

（2）以2005年度，全国硕士研究生入学考试中“数学三”中的某选择题题目为例：求解极限x sin2x/x2+1的具体数值。考生在求解该题目的过程当中，就可以通过应用等价无穷小基本定义的方式，完成对该式最终答案的计算。具体的解题思路，以及计算方式如下所示。

对于该式x sin2x/x2+1而言，为更加简便的实现对其取值数值的计算，则需要按照拆分式中未知数的方式完成解题。首先，可以通过对sin的简化，将原式转化成为：x 2x/x2+1。进一步解题方式为：

x 2x/x2+1

（变化该表达式当中x的求解位置，可构建如下式）

2 x/x2+1

通过上述分析不难发现：对于待求解式：x sin2 x/x2+1而言，在借助于等价无穷小方法对该式进行转化的基础之上，原式等价为：2 x/x2+1，即最终计算结果应当为2。显然：在解题过程当中，通过对等价无穷小基本定理“在x0的状态下，sin2 x/x2+1～2 x/x2+1”的应用，能够更简便的计算出结果。

3 结语

在考研高等数学解题作答的过程当中，应用等价无穷小方法进行相关题目的解题，直接关系着考生考试成绩的高低。等价无穷小解题方法中的替换有着极为突出的优势，充分认识，并掌握此种解题方法的基本性质，能够使大量复杂的题目变得更加的简单化，在保障解题精确性的同时，确保解题时间的最短化。总而言之，本文针对有关应用等价无穷小解答考研高等数学试题过程中所涉及到的相关问题做出了简要分析与说明，希望能够引起各方特别关注与重视。

参考文献

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