导数分类讨论的思路范文

导数分类讨论的思路篇1

一、分类讨论思想的意义

分类讨论思想其最主要本质就是“化整为零，积零为整”的解题策略。当我们在解决数学问题时，当所面对的问题不能进行整体统一的研究时，根据数学的本质属性需进行分类讨论和研究，这种逻辑思维解决方法就是“分类讨论思想”。而分类讨论思想在中学数学中，历年是考试的侧重点，主要是考查学生对于知识面的分析能力和解题思路技巧，分类讨论思想不仅有利于提高学生在学习数学中的广泛兴趣，还有利于培养思维能力的条理性和缜密性。学生可以通过分类讨论思想掌握数学当中分类方法、一题多解和对知识结构认知的能力。在教学中，教师可以利用小组合作充分发挥分类讨论的作用，为学生营造一种合作交流积极应变的氛围。因此，分类讨论思想可以有效地培养学生的思维灵活性和解题思路的能力，在初中数学解题应用中具有非常重要的作用和意义。

二、分类讨论思想具体解题步骤探讨

在学生能够基本掌握分类讨论思想的情况下，教师要引导学生运用正确的解题思路，大体可以从以下几个方面去引导，一是要认真仔细阅读题目，明白题目要考查的知识点；二是要明确分类讨论的对象，列举所有可能的结果，不可以遗漏，不可以重复；三是要讨论出所有列举问题的结论；四是要认真总结归纳，对于做过的题目要能够总结出规律和解题思路。对于数学问题的研究要有效针对各种属性的对象，研究的结果也自然会因为研究对象的不同而产生差异，因此对于不同的研究对象就需要采用不同的研究思想，又或者说在研究过程中出现了不同的状况，就需要采用不同的分类研究的思想。

三、分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用实例分析

例1.已知：一次函数y=-x+8和反比例函数y=k/x（k≠0）；①当k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标平面中的图象有两个交点？②设①中的两个交点为A、B，试比较∠AOB同90°的大小。

分析：第①小题求得k

例2.让|b+1|=|b|+1式子成立的条件是什么？

（A）b为任意实数值（B）b≥0（C）b≤0（D）b≠0

分析：在破解这道题目时，可以采用分类讨论的思想，该题题干中等号两边的都含有绝对值符号，且已知条件中没有给出实数b的具体取值范围，因此绝对值符号去掉较为困难。此时我们可以通过“零点分段”的分类讨论法，令|b+1|=0，|b|=0，可以分析得出b=0和b=-1；依次假设b

解：当b

例3.某超市推出如下优惠方案：一次性购物不超过100元不享受优惠；一次购物超过100元，但是不超过300元一律9折；一次购物超过300元一律8折。王波两次购物分别付款80元和252元。如果他一次性购买与上两次相同的商品，则应付款为多少？

解：第一次购物显然没有超过100元，因为80/0.9=88，所以第一次实际购物价值为80元。第二次购物分两种情况：第一种情况是不超过300元时，实际购物价值为252/0.9=280，又因为（80+280）×0.8=288，则应该付款总额为288元；另一种情况是实际购物价值超过300元，则实际购物价值是252/0.8=315，又因为（80+315）×0.8=316，所以应付款总额为316元。由此可得如果王波一次性购买与上两次相同的商品，付款金额为288元或316元。

总之，在数学教学中，教师要转变教育思想，努力创新教育方式，在课堂中不断渗透分类讨论的思想，在课后习题中加强分类讨论思想的深化和运用，这样才能帮助学生培养正确的分类讨论思想，使其在以后的数学学习能够更加轻松。并且，分类讨论的思想也帮助学生们开拓了学习的思维，培养了严谨的学习态度和全面的思考方式，使其在以后的学习和生活中能够受益终生。

导数分类讨论的思路篇2

【关键词】函数教学 分类讨论 分类的动机

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）02-0057-02

一 引言

分类讨论思想是高中数学重要的数学思想之一，分类讨论在函数中体现为两方面，一是函数解析式的分段讨论，二是含有参数的函数问题。学生遇到此类题时，要么束手无策，要么认为题目有问题，无法解或无解，没法明白分类的动机，分类时出现困难。可见学生对分类思想方法掌握不好，因此，分类思想既是老师教学的重难点，也是学生能力的体现。

二 分类讨论思想的涵义

当我们遇到的问题中的条件不足以得到一个确定答案或好像无法求解时，就是用分类讨论的思想方法求解的时候了，把原问题分解成相对独立的“小问题”来处理，综合对这些小问题的解答，便可推证出原问题的结论。这个过程就叫做分类讨论，这种思想叫做分类讨论思想。分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，就增加了问题的定解条件。即分类讨论是“化整为积，各个击破，再化积为整”的教学策略。

三 分类讨论的动机探究

请看下面的例子：

例1，求函数f（x）=│x-1│+│x+2│的值域。

探究如下：

学生：看起来不好入手解题，它不是基本初等函数的类型，而是与x相关的两个绝对值。

教师：常见的函数没有绝对值，因此有必要对解析式进行化简，化简的目的是去掉绝对值，怎么去掉绝对值呢？

学生：绝对值里面的正负是关键，如果知道x-1，x+2分别与零的大小，就可以去掉绝对值符号。

教师：大小关系有多少种情况呢？

学生：有（1） ，或者（2）

教师：除了这两种情况，还能有其他的情形吗？

学生：还可以是一正一负（3） ，或者（4） 。

教师：分成以上四种情况，但是（4）无解集所以得排除。

学生：（1）当x≥1时，f（x）=x-1+x+2=2x+1；（2）当-2

综上有 ，作出图像得到值域为

[3，+∞）。

总结：当学生的思维受到局限时，教师可以使用问答的方式一步一步地引导学生解决疑难，可以适当增加条件限制变量的范围来确定解析式，从而达到化简的目的，把不熟悉的问题转化成熟悉的问题，提高学生的逻辑思维能力。所以要学生会用分类讨论的思想方法来解题，首先要知道的问题是在什么情况下要考虑到分类讨论？其次是明白为什么要分类讨论？分类之后会有哪样的优势？也就是明确分类的动机。我们面对的很多数学题以及生活中碰到的很多问题，因为有一定的变数而使结果模糊，当我们把变数明晰化，实际上就是增加一个或多个定解条件时，就可以得到确定的答案。

四 函数分类的情形

函数分类讨论大致分为两类，一类是分段函数，分类讨论后才能进行解答；一类是函数的性质是分类的，典型的例子是含有参数的问题。如函数性质中根据奇偶性的分类，对某个区间上的单调性讨论；一次函数、反比例函数中参数k的情况与单调性讨论；二次函数的参数讨论以及动的对称轴；指数函数和对数函数中对底数的分类讨论；幂函数的幂指数对函数性质的影响；三角函数中依据角所在的象限对三角函数符号的分类；以及三角函数的定义域；等比数列前n项和q=1，q≠1的讨论；直线的截距，两直线的位置关系与k之间的不确定性；导函数的单调性与参数的不确定性讨论等。

例2，（2013年山东）已知函数 （e=2.71828…

是自然对数的底数，c∈R）。（1）求f（x）的单调区间、最大值；（2）讨论关于x的方程│lnx│=f（x）根的个数。

分析：（1）利用的是导函数来讨论单调性；（2）题是在（1）的基础上，有绝对值的形式，根据绝对值里面lnx的正负进行讨论，因此分段是关键，题目根的个数就转化成一个分段函数的零点问题，而零点的确定需要知道图像的大概走势，也就是利用导函数求函数的单调性，利用最小值来和0做比较。

解析过程：

（1）f'（x）=e –2x（1-2x）易知f（x）在（-∞， ）

递增，（-∞， ）递减且f'（ ）=0，f（x）有最大值

。

（2）设g（x）=│lnx│-f（x），则方程的根就转化为函数g（x）的零点，求方程根的个数就是求函数的零点个数，

则 ，由导函数知，当x≥1时，

函数单调递增，当0

综上当x∈（0，+∞）时，都有g（x）≥g（l）=-e-2-c。

思路点拨：既然g（x）有最小值g（l），那么g（l）与0的大小情况如何？（1）当g（l）=-e-2-c>0时，函数图像与x轴没有交点，即c

知g（x）=lnx-xe-2x-c≥lnx-（ e-1+c）>lnx-1+c，要

使g（x）>0，lnx-1-c>0，即x∈（e1+c，+∞）。

当0

>-lnx-1-c，要使g（x）>0，只需要-lnx-1-c>0，x∈（0，e-1-c）。

综上当c>-e-2时，g（x）有两个零点，即方程有两个根。

总结：例题中讨论根的情况转化成函数的零点问题是一大难点，一部分学生在分段得到最小值后就不知如何继续，没有找到分类的动机，感觉手忙脚乱，因此怀疑自己的解题思路，最终不能将解题进行下去。还有学生在（3）中不知如何设定情况继续讨论，在大的前提下又进行分类讨论，是学生的薄弱点，拿捏不好分类的尺度，因此在讨论时把握分类的动机，明确分类标准非常重要。

五 分类讨论的标准

要有明确的分类标准：对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱，分大类时有一个统一的标准，每一大类中再分几小类可另有统一的标准。

例3，（2010年全国I）已知f（x）=3ax4-2（3a+1）

x2+4x。（1）当a= 时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在

（-1，1）是增函数，求a的取值范围。

解：（1）略。

（2）易知f'（x）=4（x-1）（3ax2+3ax-1），在（-1，1）上f（x）是增函数，当且仅当f'（x）≥0，x

思路：这是一个一元二次不等式吗？不一定。

（1）当a=0时，有-1≤0成立；

（2）当a>0时，要满足条件则需3a·12+3a·1-1≤0，

解得a≤ 。所以，00的前提下，是且的

关系，最后取两者的交集）。

（3）当a

=（3a）2-4·3a·（-1）≤0，解得 ≤a≤0，所以有

≤a

综上，a的取值范围为 。

（三种情况都满足条件，是或的关系，所以为三个结果的并集）

总结：本题容易忽视分类讨论或讨论不到位是出错的关键，对于分类结果的表示不周全，以下是分类讨论结果的表述：求某个未知量，如果对这个未知量进行分类讨论，那么各类的解集取并集；求某个参变量，如果对这个参变量进行分类讨论，那么各类的解集取并集；求未知量，若对参变量进行分类讨论，由于每类情况的前提条件不同，那么各类的结果应分类表述，所求未知量要同时满足各种前提，则应对各种分类讨论的结果求交集。

六 教学启示

分类思想是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法，它贯穿于各类知识之中，在教学的各个阶段都起着重要的作用。分类的过程，可培养学生思考的周密性与条理性，而分类讨论，又有助于提高学生研究问题，探索规律的能力。分类思想不同于一般数学知识，通过几节课就可掌握，有很多是依赖经验和解题的习惯。因此教师在备课时应有意识地结合具体教学内容，渗透分类思想，养成分类的意识，把分类思想方法融入到具体教学过程中；在解题教学中让学生进一步学习分类方法，增强思维的缜密性，提高合理解题的能力。教学中应掌握化隐为显、循序渐进、学生参与的原则，并且反复渗透、适时突破。如前面例子中对a进行分类，可采用提示语引导学生：为什么这样分类？分类后有什么优势？分类的标准是什么？

学生的主体地位即是让学生成为学习的主体，教师在整个教学过程中只是发挥引导和点播作用。在教学过程中，教师可以通过分类讨论来充分发挥学生在学习过程中的主体地位；老师对分类思想进行讲解以后，可以引导学生自己来对已经学过的知识进行分类探讨，特别是针对学生容易出错的知识点，让学生通过讨论来对这个知识点有更加清晰的认识，对出现的错误进行总结，将知识点的欠缺归纳到每一个知识类别上，这样有助于学生自身知识体系的完善，在平时的教学中要有意识地引导学生感悟和体验分类在解决类似问题中的积极作用。但要注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题做深入研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，再寻求讨论，使问题更简单。

参考文献

[1]曹贤鸣、阮孟国.分类讨论及其应用[J].中学数学教学参考，2002（8）

导数分类讨论的思路篇3

关键词：分类讨论思想 初中数学教学 应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2017）07-0081-01

分讨论思想虽然比较抽象，但却不失为一种解决数学问题的好方法，与此同时，初中阶段正是学生抽象思维发展的“高峰期”，教师应充分利用这一阶段学生思维的活跃性。因此，作为一名初中数学教师，有责任培养学生的分类讨论思想。下面，笔者结合自身经验，对分类讨论思想在初中数学教学中的应用提出了以下几种策略，希望对分类讨论思想在初中数学教学中的应用能有所帮助。

1 教师在日常教学注重对学生分类讨论思想的培养

分类的思想其实渗透在我们生活的各个方面，若是我们去细细观察，就不难发现。在生活中，学生会不自觉地进行分类，举例而言，学生对书籍、杂物、衣服、的分类，因此，教师要对学生加以引导，帮助他们把这种分类思想引入到数学之中，所以说，初中数学老师在进行对数学内容的传授时，一定要分模块、分类型进行授课，将分类讨论的思想融入学生的数学学习中去。例如，笔者在给学生讲解《数》这一概念的时候，将数分为正有理数、负有理数和零，然后再分类进行讲解。通过教师在教学中不断运用分类思想，学生就会逐渐感受到分类思想的核心内容，进而强化他们对数学的分类思想，逐步形成对数学问题分类处理的意识，并能够模仿教师去进行分类，掌握分类的基本原则，比如说分类的基本条件就是确定好分类对象，而且对分类标准进行统一化。教师若是在日常的教学过程中能够注重对初中生在数学方面的分类讨论思想进行培养，那么分类讨论这一思想在数学教学过程中将会起到“如虎添翼”的效果。

2 教师引导学生简化讨论方法

由于初中生年龄尚小，对分类讨论这一抽象的概念也是刚刚接触，往往会想得过于复杂，这样反而造成一个比较糟糕的后果，因此教师在教学过程中要注意观察学生的分类讨论方法，运用的讨论方法要尽可能地简化，这样才能起到分类讨论的作用。而教材就起到了很好的引导作用，比如说，在《绝对值》这一刻上，教材对绝对值得三种情况分得非常明确，那么分成这三种情况是为了什么呢？自然是为了讨论，分类和讨论有着不可分割的“血缘关系”，分类的目的就是讨论，教师要把这一思想渗透到自己的教学过程中去，让学生在进行对问题的分类讨论时做到言简意赅，避免出错。

3 教师要注重提高学生在进行分类讨论时的思维缜密性

教师要想提高学生在分析问题时思维的缜密性，就必须以身作则，在进行问题的讲解时，要全面考虑问题，确保自己思维的缜密性。与此同时，在分析问题时，只有做到缜密思考，才能确保在后来繁杂的解题过程中仍然保持头脑清醒，理清解题思路。在思维缜密性的培养上，教师不妨让学生多多进行实践，让他们在实践中明白分类的原则，做到不重不漏，举例而言，笔者在讲解《不等式》这一部分时，给了这道题：解不等式 （a+1）>a2-1，学生在课堂上对这个问题进行深刻思考后，有的学生直接把

a+1除了过去，而另一些对分类讨论有一定意识的学生，就会注意到要对a+1的正负以及是否为零进行讨论。所以说学生在自己做题实践的过程中，能够提高自己对分类讨论思想的意识，并且能够提高考虑问题的缜密性。

4 利用分类讨论思想来提高学生的数学综合解题能力

相信每个初中数学教师对于分类讨论思想在数学中的地位都心中有数，因此，教师在引导学生去运用分类讨论这一思想时就必须要注意选择较为合适的教学内容，并确立好教学目标，做好课前准备。与此同时，初中课本中的公式、定理大部分都蕴含着分类讨论的思想，因此，教师在讲解有关内容时，不仅要让学生去亲自推理证明、分类讨论，得到正确答案，而且要让学生尝试一下若是不运用分类讨论这一方法时，处理问题的繁杂程度，最后，教师要帮助学生总结分类讨论的基本原则，理清分类讨论的思路，以提高学生的数学综合解题能力。

总而言之，教师要顺应社会的发展，时代的潮流，在进行初中数学教学的过程中，充分发挥初中学生在日常生活之中善于对事物进行分类思考的优势，不能放过这样良好时期，注重对学生的分类讨论思想的培养。与此同时，教师在对初中数学分类讨论思想进行教学时，要对学生的大胆见解、创新思维加以鼓励。培养学生思考问题的全面性，提高学生思维的敏捷性，以达到学生在运用分类讨论思想解决问题时做到缜密谨慎，从而能够提高初中生数学的综合解题能力，并在分类讨论思想的运用中有所帮助。

参考文献：

[1] 濮安山.中学数学教学论[M].哈尔滨工业大学出版社，2004.

导数分类讨论的思路篇4

关键词：RLC二阶电路； 教学设计； 教学方法

【中图分类号】TM1-4

引言

《电路分析基础》是电路与电子学这个知识领域的理论基础，主要针对电类本科有关专业（电力、电子、信息、通信、计算机等）的学生开设，是电类各专业的第一门电子基础课。

课程的基本教学任务是：通过学习，使学生掌握线性电路的基本概念、基本理论、基本分析方法和基本的仿真分析方法，重点培养学生的科学思维能力，分析计算能力和理论联系实际的工程观点[1]。

该课程共包含三部分内容，分别是直流电阻电路分析、直流动态电路分析和正弦交流稳态电路的分析。其中直流动态电路的分析，特别是“RLC二阶电路”部分，是学生往往觉得比较抽象、难懂的部分。这里以“RLC二阶电路”为教学实践对象，通过对该知识点进行教学设计与方法探讨，使学生掌握二阶电路的基本分析方法和工程应用，力求达到理论与实践相融合的教学效果。

一、教学难重点和学情分析

在对“二阶电路”进行教学设计和教学方法探讨之前，首先要把握教学内容的重难点，立足教学任务和目标，结合具体学情进行分析[2]。

电路分析的基本思想如流程图1所示，将实际器件用理想元件来模拟，搭建电路模型，采用电路分析的两大基本约束：基尔霍夫定律和元件的伏安关系，建立电路模型所对应的数学模型（数学方程），求解方程并分析电路响应的物理原理。对于一个给定的RLC二阶电路，如何建立它所对应的数学模型（二阶微分方程），需要用到在第一部分电阻电路中所学过的电路分析的基本方法，是本节内容的第一个重点；建立方程之后接下来要求解方程，二阶微分方程的求解在高等数学中已经学习过，电路究竟有几种响应形式，如何引导学生正确认识这几种响应形式所对应的物理内涵是本节的第二个重点，学生对于这部分的认识往往觉得比较抽象，需要对比分析，也要适当结合实例，是本节容的难点。

了解了难重点和基本学情，接下来将具体研究如何采用有效的教学设计和方法展开教学，使学生熟练掌握二阶电路的建立及应用。

二、教学设计与教学方法

在近几年的教学改革和课程建设中，通过各种形式的教学交流和总结，在教学中不断反思、调整和实践，力求将“教为主导，学为主体”的教育理念和方法融入具有经典理论的专业基础课中，使电路基础理论和基本方法能和电路仿真、工程实践融合起来。如在“二阶电路”教学中，通过调整、更新教学设计；借助电路仿真软件；综合利用讲授法、启发式、探究式、案例式等多种教学方法，增强教学的趣味性和实践性，达到了良好的教学效果。

1. 承上启下 自然导课

如何恰如其分的引入本节内容，是驾驭课堂的第一步。设计导课时，要注重前后知识点之间的关联，引导学生明确学习方向。

在学习“RLC二阶电路”之前，学生已经对一阶电路的结构特点和响应形式有了比较深入的认识。因此可以通过对一阶电路的回顾和总结，启发学生思考什么是RLC二阶电路，以及RLC二阶电路具有怎样的电路结构和特点。

2. 层层递进 论证严密

在导课环节，学生认识到：二阶电路是指由两个的独立动态元件构成的电路。那么首先从最简单的二阶电路（这里以只含有一个电容和一个电感的LC电路为例）入手，通过分析电路中电场能量和磁场能量之间相互转换的物理过程，使学生认识LC电路中的振荡现象，这是一个定性分析的过程。而LC电路中的振荡实际上是一种正弦振荡，要证明这一点，必须通过进一步的定量计算来实现。接下来引导学生使用电路分析的基本方法，通过对电路列微分方程并求解方程，使学生深刻认识LC电路中的正弦振荡现象。

3. 分析讨论 仿真对比

认识了最简单的LC电路之后，引导学生思考这样一个问题――如果将电路的损耗用电阻R来表示，串联在电路中，就构成了典型的RLC二阶串联电路，这样的电路又有怎样的特点和响应形式呢？接下来运用电路分析的基本方法，列写RLC串联电路对应的二阶微分方程，由高等数学中的知识――齐次方程的解是由特征方程的根决定的，对应在电路中即：电路的响应形式是由电路结构和R、L、C元件的参数决定的，那么接下来将讨论的问题是：如何根据各参数的不同，分析二阶电路的不同响应形式。

二阶电路的响应分为过阻尼、欠阻尼、临界阻尼和无阻尼四种状态。纯粹的数学计算是枯燥和抽象的，为了使学生对这四种响应形式有一个更直观的认识，采用较常用的Multisim电路仿真软件，通过对参数进行设置，观察对比不同情况下的响应仿真波形，更具真实性和说服力[3]。

4. 加强应用 学科融合

前面的分析和讲授都只停留在理论分析和论证层面，那么二阶电路又有哪些工程应用呢？接下来进入理论联系实际环节，主要采用案例式教学方法，以“电火花加工”和“汽车点火系统”为例，结合电路原理图，分析二阶电路在工程方面的应用[4]。结合工程实例，在潜移默化中实现了理论和实践的有机融合，加深了学生对这一知识领域的认识，拓宽了学生的视野，是对基本理论和方法的进一步升华。

为了使学生对二阶系统有一个更形象的认识，接下来通过类比，分析皮球自由落体时，分别落在地面、沙滩及理想环境下的运动状态，来对比二阶电路的四种工作状态。让学生进一步认识到：二阶系统除了在电类方面的应用外，在物理、机械等更多学科领域也有着广泛的应用。鼓励学生课下查阅相关资料，进一步拓展思维，加强各学科之间的融合。

三、总结

《电路分析基础》作为电类各专业的重要专业理论基础课，是一门理论、仿真和实践有机融合的课程，仿真不仅可以用硌橹だ砺郏还可以用来指导实践。将仿真软件引入电类课程的教学过程已经成为一种发展趋势，它克服了实验设备和实验场地不足等的限制，将成为传统教学的有益补充[5]。

探索以“教师为主导，学生为主体”的教学模式和方法是现代教育的发展趋势，导引式教学设计融合多方法的教学模式可以进一步推广到整个《电路分析基础》的教学中来，以及电类各相关专业理论基础课程中，通过不断创新和实践，进一步优化课堂教学，完善课程建设体系。

参考文献

[1]李瀚荪.电路分析基础[M].第四版高等教育出版社.2009

[2] 常青美，孙亮.电类核心基础课程教学改革与实践[J].中国电力教育，2012，（18），p60-61.

[3] 祁国权.RLC二阶电路暂态过程的Multisim仿真[J].电子设计工程，2011，（24）， p60-61.

[4] 俎云霄.电路分析基础[M].电子工业出版社.2009

导数分类讨论的思路篇5

一、指导学习方法

（―）指导学生建立起抽象思维型的高中数学意识

我们要让学生明白高中数学与初中数学特点的变化，要把在初中时主要依赖形象思维的数学思维转化为抽象的辩证思维，并建立主体的知识结构网络。

1.高中数学语言表达变得抽象化。比如集合、映射等概念一般学生就难以理解，觉得离生活很远，单靠形象思维就比较“玄”。这是因为初中数学表达的语言方式形象而通俗，高中数学则使用抽象的集合语言、逻辑运算语言、函数语言及空间立体几何等。

2.高中数学思维形式变得理性化。不少初中数学老师把各种题建立了统一的思维模式教给学生，如解方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等，分别确定了各自的思维套路，具有很强的经验性。高中数学则不然，所以学生学习时一开始容易导致成绩下降。老师需要引导新生进行思维转型。

3.高中数学知识内容扩大化。高中数学知识内容的“量”急剧增加，需要做好课前预习和课后复习，牢固掌握大量知识；需要理解理清新旧知识的内在联系，让新知识顺利地与原有知识结构相融合；需要学会对知识结构进行梳理，形成知识的板块结构，进而不断进行总结、归类，建立以主体知识为核心的知识结构网络。

（二）培养高中数学学习与解题的良好习惯

1.培养善于分析总结和提升数学技能的习惯。高中数学学习要以提高学生的学习能力和学习效率为重点，我们不能让学生死板地读书做题，而是要指导学生学会分析每一道题的解题思路，解题后又善于总结解题的思路与方法。要多训练学生自身的运算能力和化简技能，引导学生不要过于依赖计算器，并努力提升数学技能。

2.培养学生建模的能力和习惯。近年高考经常涉及数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等数学模型。由此，我们要着力培养学生建模的能力和习惯，在学生能够明白题意的前提下，引导学生找出题目中每个量的特点，分析出已知量和未知量，考虑二者之间的数量关系，最后将文字语言转换为图形语言或者数字语言，建立起相应的数学模型。然后通过这一模型求解并得出结论，并且自觉地将得到的结论进行还原验证，并由此形成相应的解题习惯。例如，求解应用题就需要建模，一是读题，要读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；二是建模，把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；三是求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；四是评价：对结果进行验证或评估，对错误加以纠正，最后将结果应用于现实，作出解释或验证。

3.指导掌握分类讨论的习惯。学生在解题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是使用分类讨论法。分类讨论法在高考试题中占有突出的位置。例如，问题涉及的数学概念要进行分类定义，或数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出，解含有参数的题目时必须根据参数的不同取值范围进行分类讨论。这样的题都属于分类讨论性质的题。我们要指导学生养成这样的习惯，即：确定分类对象，统一分类标准，分出的类不遗漏也不重复，分类互斥，有主有次，不越级讨论，最后进行归纳小结，得出结论。

二、指导解题方法

（一）教给一些常用的解题方法

1.高中数学常用的解题方法和技巧有配方法、换元法、待定系数法、定义法、数学归纳法、参数法、反证法，等等。例如，配方法主要适用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。换元法则可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，其关键是构造元和设元，使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元的方法有局部换元、三角换元、均值换元等。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程式，得到所求圆锥曲线的方程。教给方法后，还要教给具体的步骤。如使用待定系数法实施的具体步骤是：第一步，用反设否定结论，作出与求证结论相反的假设；第二步，用归谬推导出矛盾，将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，用结论得出原命题结论的成立，即说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

（二）教给一些专门题型的解题方法

如与解析几何有关的参数取值范围的问题，在构造不等式时，就需要利用曲线方程中变量的范围构造不等式或利用判别式构造不等式、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式、利用三角函数的有界性构造不等式、利用离心率构造不等式，等等。

三、指导应试方法

学生参加高中数学考试或数学高考，最重要的方法是让他们学会“六先六后”，因人因卷制宜，立足拿分的技巧。一是注意先易后难。先做简单题，再做综合题，并根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目。二是注意先熟后生。通览全卷，可以看到许多熟悉的题型，也会看到一些不熟悉的，对不熟悉的，不要惊慌失措，应想到试题偏难，自觉不很会做，别人也难做，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到位、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，基本就能够拿下中高档的所谓难题。三是注意先同后异。先做同知识同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提升单位时间的效益。四是注意先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间。此外，还要注意先点后面、先高后低等。

导数分类讨论的思路篇6

关键词：数学思想；数学方法；实际应用

中图分类号 O13-4；G642

引言

常常有人觉得学数学知识是无用的，日常生活所需要用的单纯的数学知识虽然有，但和汉语语言比起来少之又少，其实那是他不知道数学学习的核心是什么？数学学习就是学习数学的思想和方法，就像近代数学教学的专家米山国藏老师所说的，纵然有一天，我们把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法将会铭刻在我们的头脑里，长久的活跃在我们现在和未来的日常生活之中。

数学是一门基础学科，留心一下，你会发现它之所以是“基础”，是因为它在我们的生活中随处可见，大到天文地理，小到市场买菜。尤其是一些数学思想方法的应用，如分类讨论思想、数形结合思想等等。

数学思想是指从某些具体的数学认识过程中提升的正确观点，在后继认识活动中被反复应用和证实，带有普遍意义和相对稳定的特征。也就是说，数学思想是对数学概念、方法和理论的本质认识。数学方法是处理数学问题过程中所采用的各种手段、途径和方式。因此数学思想不同于数学方法。尽管人们常把数学思想与数学方法合为一体，称之为“数学思想方法”，这不过是二者关系密切，有时不易区分开来。事实上，方法是实现思想的手段，任何方法的实施，无不体现某种或多种数学思想；而数学思想往往是通过数学方法的实施才得以体现。严格说来，思想是理论性的；方法是实践性的，是理论用于实践的中介，方法要以思想为依据，在思想理论的指导下实施。数学思想和数学方法既有区别又有密切联系，一般说来，讲数学思想方法时若强调的是指导思想，则指数学思想；强调的是操作过程，则指数学方法；当二者得兼、难于区分时就不作区分，统称为“数学思想方法”。实际上，通常谈及思想时也蕴含着相应的方法，谈及方法时也同时指对该方法起指导作用的思想。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁.本文主要列举一些常见的数学思想方法：转换思想；分类讨论思想；数形结合思想；类比思想，并讨论这些数学思想方法在现实生活中的实际应用。

一、转换思想

转换思想又称转化或化归思想，是一种把待解决的或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求的原问题解答的数学思想。也是

反映数学技巧与手段的十分重要的、得到普遍运用的数学思想。

阿普顿是美国普林斯顿大学数学系毕业的高材生，对没有大学文凭的爱迪生有点瞧不起。有一次，爱迪生让他测算一只梨形灯泡的容积。他拿起灯泡，测出了它的直径高度，然后加以计算。但是灯泡不具有规则形状：它像球形，又不像球形；像圆柱体，又不像圆柱体。计算很复杂。即使是近似处理也很繁琐。他画了草图，在好几张白纸上写满了密密麻麻的数据算式，也没有算出来。爱迪生等了很长时间，也不见阿普顿报告结果。他走过来一看，便忍不住笑出了声，“你还是换种方法吧！”只见爱迪生取来一杯水，轻轻地往阿普顿刚才反复测算的灯泡里倒满了水，然后把水倒进量筒，几秒种就测出了水的体积，当然也就算出了灯泡的容积。这时羞红了脸的阿普顿傻呆呆地站在一旁，恨不得找条地缝钻下去。这个故事中爱迪生将灯泡的体积转化成水的体积，正是用到了转化思想。

再如，一个人考试不好伤心，我们要让他开心起来。问题首先转换成让他的学习成绩提高，再转换成改变他的学习方法。这样问题就逐一解决了。通过影子测量大树高度，我国古代曹冲称象的故事，都是转化思想的一个体现。

匈牙利著名数学家路莎.彼得曾经说过这样一句话：“数学家们往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直到把它转变成能够得到解决的问题。”转化思想的重要性由此可见。所以只要我们用心观察，善于思考，不仅能灵活的运用转化思想解决有关的实际问题，说不定还能有伟大的发现。

二、分类讨论思想

由于研究对象不同，影响了研究问题的结果，从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而对不同情况进行分类研究的思想，我们称之为分类讨论思想。分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题——加以解决，从而使问题得到解决。

分类讨论思想在生活中经常用到，比如，在工作中，假设你所在的公司本月销售业绩下降，怎样改变这种现状，用分类讨论的方法，将公司经营的各个部门环节分解（生产、销售、售后、成本、销售价格、费用等等），再逐个讨论，找出问题的根本后加以解决。 生活中，比如你跟家人闹了点矛盾，你可以分解为（观念、角度、主客观思想、事件原因等等很多），然后去慢慢化解。

分类讨论是解决一个比较复杂或者带有不确定性的问题的方法，这时需要把问题划分为几种可能性，然后针对每一种出现的可能性给出不同的解答。一个常见的问题“一张桌子砍掉一个角后还有几个角？”这个问题的答案可以很多，因为问题描述的不清楚。要解决这个问题，我们先要假设一下，这个桌子是圆形的还是方形的或者是五边形的，那你就可以分情况讨论了，情况一：圆形的；情况二：多边形的；情况三：不确定形状的；然后针对每一种情况给出解答。假设这个桌子是第二种情况，我们还要讨论“砍掉一个角”究竟是如何砍的，砍法不同，留下的桌子的角数也不同，比如，正方形的桌子，砍掉一个角就有可能出现三个角，四个角，五个角三种可能性。考虑问题要全面，针对不同的情况给出不同的解决方法，这里用到了分类讨论。

当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件。分类讨论的原则是不重复、不遗漏。讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。

三、数形结合思想

数形结合是指将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，实现抽象概念形象化。同时，通过对图形的认识、数形转化，提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，可根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形性质问题进行讨论，或者把图形性质的问题转化为数量关系问题来研究。

随着数学科学的发展，数形结合思想在人类的日常生活中有着非常广泛的应用，由于我们能够对几何形体进行度量，所以数形结合思想一个经常、且直接的用途在于家具设计。各种材料如何选取、搭配、组合在一起使用才更合理，各种线性材料的购置的量，可通过测量其长度来决定，借助它我们可以衡量和把握家具的外观形式，从而达到；房子装修中，各种表面，如地面、墙面的装饰材料，要测量计算面积确定用料多少；各种容器的制作，不论其形状如何，都要通过计算其体积来了解容器能装多少东西。再如做蛋糕的厨师要估量各种形状的蛋糕中每种配料的适当体积，这样才能保证所制的产品既不使材料不够用，又恰好做出所需成品物理学、化学、建筑学、矿物学等领域，经常要计算各种物体的质量，在计算质量时必须先计算其体积的大小。都要用到数形结合的思想。

举世闻名的完美建筑古希腊帕提依神庙，建筑师们发现由于高和宽的比是0.618，按照这样的比例进行建筑设计，建筑物会更加壮观舒适。古希腊维纳斯女塑像故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1时，演奏出的音调更为和谐和悦耳。甚至生活中写字台的桌面、墙上的挂历、信封、舞台报幕员站立的位置等为了达到最佳效果都取黄金分割比，这也是数形结合思想的重要体现。

运用数形结合思想解决实际问题可以使问题变得更加简洁明了，同时大大拓展了我们的解题思路，而且还能体现数学之美。

四、类比思想

类比法就是根据两种不同的数学对象之间在某方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的推理方法。它是以比较为基础的一种从特殊到一般的推理方法。这是一种或然性推理，其结论是否正确还需要经过严格的证明；这种推理和归纳一样，属于合情推理。

类比法在导游员对游客介绍眼前景物时用的较多，如：导游员在实际讲解中，针对不同国家的游客，可将北京的王府井大街比作日本东京的银座、美国纽约的第五大街、法国巴黎的香榭丽舍大街；把上海的城隍庙比作日本东京的浅草；参观苏州时，可将其比作“东方威尼斯”（马可波罗将苏州称为“东方威尼斯”）；讲到梁山伯与祝英台或《白蛇传》中的许仙和白娘子的故事时，可将其比作中国的罗密欧与朱丽叶。再如：介绍说故宫建成于明永乐十八年，外国游客听了效果不会好，因为一般不会有几个外国游客知道这究竟是哪一年。 但是若介绍说在哥伦布发现新大陆前 72年，莎士比亚诞生前144年，中国人就建成了面前的宏伟建筑群。这种类比介绍不仅便于外国游客记住故宫的修建年代，留下深刻印象，还会使外国游客产生中国人了不起、中华文明历史悠久的感觉。

类比法就是以熟喻生，达到类比旁通的手法。导游员用游客熟悉的事物与眼前的景物相比较，定会使游客感到亲切和便于理解，达到事半功倍的效果。使用类比法，切忌作不相宜的比较，否则会惹游客耻笑。

又比如我们在给初中学生讲解有关正午太阳高度和日影的朝向问题，学生就很难理解，如果将太阳比作成路灯，就达到了一定的简单化作用，离路灯近看灯角度就大，影子就短，人影在灯光的反方向，再参照太阳直射点运动的规律，学生理解这个问题就不是那么难了。

利用类比推理与联想，可开阔思路，启迪思维，起到由此及彼、触类旁通的作用。如果能从生产实践中挖掘出特定的生活经验，在数学课中引入类比数学思想方法，那么学生会因为感性知识的丰富而促进对数学思想方法的理解，从而大大降低学习难度，增强学生学习数学的积极性。

五、结束语

在我们解决日常生活、学习、工作中的各种实际问题的过程，体现了应用数学知识解决问题的基本策略。它不仅包括数、式的运算，还包括推理、分析、判断、选择、估算、统计、绘制图表、数据分析、及空间与图形、优化方案等诸多方面。如设计活动方案过程中考虑的乘车路线的选择、时间安排、人员分配、资金运用等，都蕴涵着丰富的数学思想和方法，这些都离不开数学在日常生活中的应用。它在提高人的推理能力、抽象能力、想像能力和创造能力等方面有着独特的作用。数学思想方法又是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言已经成为现代文明的重要组成部分，是我们生活、劳动和学习必不可少的具， 因此，我们在数学教学中也要注意使学生树立正确的数学应用观，教学中，也要把数学思想方法渗透于教学的各个环节之中，生活无处不推理，无处不类比，不猜想，无处不在运用着数学思想，让学生了解并掌握解决实际问题的一般思想方法，形成科学的思维习惯，并具有自觉、主动地应用数学思想方法的意识。（让他们在成长的过程中，形成数学思想方法，产生数学生活能力，能够运用数学的思想方法，数学的能力在这个社会中生存。）

总之，数学思想方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，是数学的精神和态度，它使人思维敏捷，表达清楚，工作有条理；使人善于处世和做事，使人实事求是，锲而不舍，使人得到文化方面的修养更好地理解、领略和创造现代社会的文明。它对人不但具有即时价值，更具有延时价值 ，使人受益终身。

参考文献

[1]吴炯圻，林培榕.数学思想方法：创新与应用能力的培养（第2版）[M].厦门：厦门大学出版社，2009.

[2]朱文芳.数形结合思想在生活中的应用[J].福建教育，2003（07B）.

[3]龙开奋.论数学思想方法在教学中的地位与作用[J].教育理论与实践，2009（08）.

[4]余桂东，张红梅.普通本科院校文科专业《高等数学》教学实践[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2012（02）.

[5]李克大.分类讨论的数学思想及其应用[J].中学生数学，2010（09）.

[6]李继超.浅谈数学思想方法在数学教学中的渗透[J].数学教学研究，2010（10）.

作者简介：张红梅（1979—），女，陕西宝鸡人，安庆师范学院数学与计算科学学院， 讲师，硕士。研究方向：高等数学，偏微分方程数值解。

项目简介：安庆师范学院校青年科研基金项目（批准号：KJ201108），安徽省教育厅教研项目（2012jyxm364）。

The Application of Mathematical Methods In Life

导数分类讨论的思路篇7

关键词：初中数学；综合题；解题思想

初中数学综合题的概念特点

数学的每个知识点之间都存在着很强的逻辑联系，部分知识点只是同一个数学主干部分的知识分支而已，知识分支与主干部分主要依靠潜在的逻辑关系实现它们之间的转变. 之所以称为综合题，是因为它至少包含两个以上的数学知识点，并且解答的时候需要用到若干个数学知识点，结合逻辑思维，不断推理才能找到适当的解题方法. 初中数学综合题考查的内容是学生对广泛数学知识点的综合运用能力，并不是单独的知识点，也不只是孤立的解题思想，初中数学综合题涉及的知识点范围大，需要结合多种数学解题思想.

初中数学综合题的若干种解题思想

1． 数形结合思想

在初中数学课程中出现的综合题大多数都是图文并茂的，具有很强的观赏性.解题时，需要分析文字与图形之间的相应联系，剖析几何图形的构成，借助几何图形中的潜在条件，理顺解题思路. 在数学综合题的分析中，数形结合思想的熟练运用，对学生以不同角度对问题进行深入认识及分析是非常有利的. 从图形中寻找解决方法，也有利于提高学生对抽象概念的运用掌握能力.

例题分解：

已知：如图1，在平面直角坐标系 xOy 中，对称轴为直线x=－2的抛物线C1：y=x2＋bx＋c，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点C的坐标为（0，3），求直线AC及抛物线cl的解析式.

图1

解题思路：使用数形结合思想，从题目及图形中知c=3. 又对称轴x=-2，a=1，可以先确定求b的值. 从对称轴x= －=-2等条件，求出b=4.

又由c1：y=x2+4x+3，转换为x2+4x+3=0，求出x1=-1，x2=-3，即得出AB两个点的坐标A（-3，0），B（-1，0）.

从图形上可知直线AC：y=kx+3过（-3，0），得出解析式AC：y=x+3.

分类讨论思想

分类讨论思想可以用来考查学生数学逻辑思维的严密性与准确性，对数学综合题中多变的条件及不确定的结论进行分类并反复思考分析，才能确保答案的准确性.部分问题在解答的过程中稍微不注意对其进行分类讨论，就会得到与正确答案相差甚远的结论. 近段时间以来，以分类讨论作为主要解题思路的综合题频繁出现，使得分类讨论思想成为新的焦点. 分类讨论的具体内容就是把难题划分为几个区域分别进行讨论，使一个难题变成若干个难度偏小的问题，达到化繁为简、化难为易的目的，最后集中精力解决简单的问题，再结合若干个由简单问题得出的结论去分析整个难题，从而达到解决难题的根本目的.

例题分解：

已知一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，1≤y≤9.求kb的值.

解题思路：当-3≤x≤1时， 1≤y≤9，存在两种情况，运用分类讨论思想解答.

①当k＞0时，函数的值会随自变量增大而增大，因此可以得到2个点的坐标（-3，1），（1，9）. 把这2个点的坐标分别代入直线方程，得到：-3k+b=1，k+b=9， 解出k=2，b=7. 最后得出结论kb=14.

②当k

等价转换思想

在解决每一个数学问题时都必须始终贯穿等价转换的数学思想，初中数学综合题的解答模式就是已知的条件与未知的问题、复杂难题与简单知识点之间的等价转换. 初中数学几何、代数、文字结合一体的综合题，更加凸显了等价转换的思想精髓. 善于发现不同知识点与不同形式之间的内在联系，并对其进行等价转换，是解答综合题的最佳途径. 在初中数学综合题的解答中运用等价转换思想，一定要注重各方面知识的收集整理，理清不同知识点之间的潜在联系，做到知识系统化，才能对综合题中体现的数学概念有更深层次的理解，充分了解综合题的知识脉络.

例题分解：

已知：抛物线y=ax2+bx+c（a不为0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0），B（1，0），C（0，-2）. 对称轴上存在一点P（-1，-），使得三角形PBC的周长最小，若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合），过点D作DE∥PC交x轴与点E，连结PD、PE，设CD的长为m，三角形PDE面积为S，求S与m之间的函数关系式. 试说明S是否存在最大值，若存在请求出最大值.

解题思路：首先根据题目画出图形，A，P，C三点共线，接着整理题目的整体脉络.由数形结合思想可知CD=m，得到OD=2-m，因为DE∥PC，结合相似三角形的概念可等价转换为ODE相似于OCA，再等价转换为OE∶OA=OD∶OC和OE=3－，AE=.

解得S=（2×3）÷2-×÷2-3-×（2-m）÷2-（1×m） ÷2=3-m-（0.75m2-3m+3）-0.5m=-0.75m2+1.5m.

最后结合所有的条件得出结论m=1时S最大等于0.75.

类比与归纳思想

所谓类比与归纳的思想方法是包括类比思想方法和归纳思想方法． 类比思想方法是指不同的研究对象在某些方面有相似或相同，以此来联想、推导、猜想这些研究对象在其他方面也可能相似或相同，并作出某种判断的推理的思想方法． 其特点是从特殊到特殊的推理方式． 例如：从分数性质到分式性质；从全等三角形到相似三角形等．

归纳思想方法是指由个别的、特殊的事例来推出同一类事物一般性的方法． 其特点是由特殊至一般的推理方式．

例如：1个点分割直线为2个部分，2个点分割直线为3个部分，3个点分割直线为4个部分，4个点分割直线为5个部分，5个点分割直线为6个部分，……，n个点分割直线为n+1个部分．

类比与归纳的思想方法活动过程如下：

研究对象试验归纳推广类比联想预见形成命题证明

导数分类讨论的思路篇8

关键词：数学教学；数学思想和方法；学习效率；渗透

一、初中数学教学中渗透数学思想和方法的意义分析

随着新课改的全面推进，初中数学教学重点强调学生数学思维、能力培养的重要性。而数学学科中包含的思想和方法，对学生学好数学具有一定的促进作用。教师在数学课堂上合理渗透数学思想和方法，能够实现数学知识的具象化转化，使学生对数学内容形成深刻的认知与理解，让数学课堂教学更加高效。同时，教师合理渗透数学思想，能够进一步规范学生的数学问题分析和探究行为。在数学思想的支撑下，学生能够有效明晰数学问题思路，提高解决数学问题的能力。因此，教师要高度重视数学思想的合理渗透，进而优化学生的数学学习方法，提高学生的课堂学习效率。

二、初中数学教学中渗透数学思想和方法的应用分析

1.渗透数形结合思想

数形结合思想，是初中数学学科的重要思想，能够将抽象性的数学知识转换为具象性的知识，从而增强学生的学习体验，强化学生的理解和记忆。同时，利用数形结合思想学习数学知识，能够使学生的数学学习思路更加明确，学习效率更加高效。因此，在数学课堂上，教师应该引导学生利用数形结合思想，学习数学知识。例如，在教学二次函数时，教师可以围绕y=ax2绘制函数图像。接着，在该函数的基础上，教师增加了已知条件如y=ax2+k，让学生根据自己所掌握的平面直角坐标系知识，对该函数图像进行绘制。然后，教师引导学生观察两个函数图像的特征，发掘其中存在的联系。通过数形结合观察与思考，学生可以发现y=ax2+k，是由y=ax2平移之后形成的函数图像。因此，在数学课堂上，教师可以先利用多媒体进行函数模型演示，再引导学生自主绘制函数图像，并从图像中观察函数的特点，进而提高对数学知识的理解能力。

2.渗透数学分类思想

在初中数学领域，分类思想也是主要的数学思想，对于提高学生数学思维及学习能力具有积极的意义。因此，数学教师在课堂活动中，应合理渗透分类思想，让学生通过分类的方式对数学知识进行整理和学习，从而提高数学知识整合能力，构建数学知识体系。例如，教师在讲解“ax-2xa+3”这一问题时，可以引导学生以“2”为分界条件，对该方程的解法进行分类讨论。然后，教师让学生分别讨论a2、a2、a=2时的解法。这样，学生通过分类思想对数学问题进行分析，能够保证对数学问题的分析更加全面，避免在数学问题的解决过程中出现漏解现象。

三、初中数学教学中渗透数学思想和方法的路径探究

1.将数学历史渗透到课堂中

数学教师在组织课堂教学活动时，应该将数学历史合理渗透到课堂中，改善学生的数学学习方法，进而提高数学课堂学习效率。同时，合理渗透数学历史，能够丰富学生的数学知识储备，让学生对数学学科形成更加深刻的认知。例如，教师教学“勾股定理”时，可以将毕达哥拉斯对勾股定理的发现和假设渗透到课堂上，从而培养学生良好的数学精神以及科学素养。

2.渗透数学思想和方法，进行知识探究

数学教师在组织课堂教学活动时，不妨引导学生自主利用数学思想进行知识探究，进一步规范学生的数学学习行为，全面提高学生的数学学习效率。例如，教师在教学“三角函数”时，可以引导学生借助数形结合思想，对三角函数特征进行探究和讨论，从而加深对此部分数学知识的理解，避免出现记忆混淆或者遗忘的不良学习现象。

3.深入发掘数学教材，提炼数学思想和方法