拓展思路 提高能力

如何以点带面地评讲典型试题，帮助学生将知识进一步理解巩固、深化提高，落实双基，培养数学能力，这是教师必须认真研究的以一当十、授人以渔的问题。下面以一考试题为例，简单谈谈我的见解。

题目：如图1，CD与圆O相切于点C，AB是圆O的直径若∠ACD=30°，则∠A=____。

思路一：因已知弦切角，故易知弦切角所夹弧的度数，故可考虑对那些圆周角、圆心角。另一方面所求角等所对弧度数的一半，故也可思考求之度数。这都是由角及弧、由弧及角的常用思路。

解法①（如图1），∠ACD=30°， = 60° ， = 120°，∠A = 60°。

解法②（如图2），连OC， ∠ACD=30°，=60°，∠COA=60°，又OC=OA ∠A =∠ACO =60°。

解法③（如图3）连BC， ∠ACD=30°，=60°，∠B=30°。

又BA为圆O的直径，故∠BCA =90°∠A=60°

思路二：因为已知圆心、切点，故可尝试连接它们，尝试应用切线性质定理。

解法④（如图2）连OC，CD与圆O相切与点C OCCD，∠OCA= 90°-∠ACD=60°，又OC =OA，∠A =60°。

思路三：因为已知直径，故可尝试找出或作出直径所对的圆周角，尝试应用定理“直径所对圆周角是直角”解法同于上述解法③。

思路四：因有已知弦CA 和圆O，故可过圆O作出弦CA 的垂直线段，再尝试应用垂径定理（参见图4），利用轴对称性质将待求的∠A转移至求对称角∠OCA=？解法可同于上述解法②。

思路五：因为已知直径的两端点，故可尝试分别过这两端点作圆O的切线，尝试应用定理“过直径两端点作出的切线互相平行”。（如图5）

或者，过直径其中一个端点如A点，作圆O的切线，再与已知的切线一起，尝试应用“切线长定理”。

解法⑤（如图6），过点A作圆O的切线交CD于E，则EC=EA。

∠EAC=∠ACE=30°。

又BAAE ， ∠BAC=90°-∠CAE=60°。

解法⑥（如图7）过点C作BA的垂线交于BA于E，交圆O于F，尝试套用习题的重要结论∠ECA=∠ACD=30°，在RtECA中，∠A=60°。

事实上，这几种思路都是基础和经常用的，可以引导学生归纳如下，并马上用作指导后面两道“变题”。

（1）“角与弧的度数替换”（如思路一）。

（2）“连接圆心与切点”（如思路二）。

（3）“由直径找直角”（如思路三）。

（4）“已知弦上找垂径”（如思路四）。

（5）“直径（或半径）外端作切线”“切线配切线”（如思路五）。

变题一：（如图8），CD与圆O 相切于点C，AB是圆O直径，若∠A=60°，则∠ACD等于 度。

变题二：（如图9）；CD与圆O切于点C，若∠A=60°，∠ACD=30°，求证AB是圆的直径。

我别出心裁地评讲这一特例是有更深一层的意境：

因为数学教学的基点是面向全体学生，使他们毕业之后不论从事何种职业都会终身受益，这是中学数学教育功能所决定的。要做到这一点，就应该在传授数学知识的同时，还要传授数学的精神及其思想方法，培养学生发展思维能力。通过数学教学，教给学生思维方法、工作方法、解决问题的方法，这是高层次数学教育的目标。

我用这“五思路、六解法”充分发挥了数学思想与方法。如思路一、思路二、思路三是新知识的迁移和应用。思路四、思路五是对“发散性思维”的探索，以增强学生对“旧”知识的迁移能力，达到解决问题的目的。

总之，这一特例的评讲，注重促进学生对新知识的迁移和应用，重视思维发散能力的练习和原型变异练习，把课堂的美感、数学的灵活应用、数学的思想、数学的方法等发挥得淋漓尽致，既有利于培养学生的广阔性、灵活性和创造性，又巩固增强了数学在学生心目中的“魅力”，提高了学生的学习兴趣，让学生更加热爱数学。

（河源市连平县高莞中学）