圆盘模型的拓展分析

摘要：圆盘问题是圆周运动一个重要的物理模型，圆盘模型分析可以很好的考查运动参量的关系、动力学规律和功能关系等综合问题.本文借助物理模型化思维，以圆盘基本模型为基础，以中学物理需要掌握的知识结构为导向，构建试题中可能的命题方向和解题策略，引导学生理清物体运动过程中各个参量之间的关系，深化其内在联系，实现圆盘问题学习的进阶发展.

关键词：圆盘；圆周运动；动力学；动态分析；临界

圆盘问题是圆周运动题型中一个很重要的物理模型，它不仅考查了圆周运动参量的关系、动力学规律和离心运动问题，还往往涉及临界问题.本文就中学阶段几种常见的圆盘模型进行整理归类，希望能有一个比较清晰的认识.

一、基本物理模型诠释

1.结构特点：如图1 所示，在水平转台上距转轴为r 处放一质量为m 的物体，物体与转台之间的动摩擦因数为μ，随同转台一起以角速度ω 转动.

2.动力学特点：

（1）物块与转台相对静止一起做匀速圆周运动.

物块所受重力与支持力平衡，转台对物体的静摩擦力提供物体做匀速圆周运动所需要的向心力，静摩擦力f方向指向圆心，有f=mv2r=mω2r，f≤fm（最大静摩擦力）是物块与转台保持相对静止的条件.

（2）若物块与转台相对静止做变速圆周运动

物块所受静摩擦力除了提供所需向心力，必须沿切线方向有力的作用，改变物块速度大小，因此静摩擦力一个分力指向圆心，沿切线方向分力不为零，两分力合力为静摩擦力，所以静摩擦力方向一定不指向圆心.

若转台加速转动，摩擦力方向如图2（甲）所示；若转台减速转动，摩擦力方向如图2（乙）所示.

例1如图3所示，小木块a、b和c （可视为质点）放在水平圆盘上，a、b木块质量均为m，c的质量为m2.a与转轴OO′的距离为l，b、c与转轴OO′的距离为2l且均处于水平圆盘的边缘.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法正确的是（）

A.b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落

B.当a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等

C.b和c均未滑落时线速度大小一定相等

D.b开始滑动时的转速是2kgl

解析由f=mω2r，b、c一起运动时所受的静摩擦力不相等，木块开始滑动时，最大静摩擦力提供向心力，kmg=mω20r得临界角速度ω0=kgr，故b、c同时从水平圆盘上滑落，A错误；当a、b和c均未滑落时，木块所受的静摩擦力f=mω2r，ω相等，f∝mr，所以a、c所受的静摩擦力相等，都小于b的静摩擦力，故B正确；b和c均未滑落时线速度v=rω大小一定相等，故C正确；以b为研究对象，由牛顿第二定律得：f=2mω2l=kmg，转速n=ω2π可解得：n=12πkg2l，D错误.故选：BC.

二、模型拓展归类探析

1.叠放型圆盘模型

模型解读：如图4所示，两物体A、B叠放在一起随盘匀速转动时，对上物体A研究，由B对A的摩擦力提供向心力f1=mAω2r；对下物体B研究，则由盘对B的摩擦力和A对B的摩擦力的合力提供向心力f2-f1=mBω2r；由于两物体始终相对静止，具有共同的角速度，故也可利用整体法和隔离法分析求解.

例2如图5所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，设物体间最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则下列说法中正确的是（）

A.B的向心力是A的向心力的2倍

B.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍

C.A、B都有沿半径向外滑动的趋势

D.增大转速，若B先滑动，则B对A的动摩擦因数μA小于盘对B的动摩擦因数μB

解析根据F向=mω2r，因为两物块的角速度大小相等，转动半径相等，质量相等，则向心力相等，A错误；对A、B整体分析，fB=2mω2r，对A分析，fA=mω2r，知盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍， B正确；A所受的静摩擦力方向指向圆心，可知A有沿半径向外滑动的趋势，B受到盘的静摩擦力方向指向A心，有沿半径向外滑动的趋势， C正确；对A、B整体分析，2μBmg=2mω2Br，解得ωB=μBgr，对A分析，μAmg=mω2Ar，解得ωA=μAgr，因为B先滑动，可知B先达到临界角速度，可知B的临界角速度较小，即μB

2.约束型圆盘模型

模型解读：如图6所示，由轻绳（轻杆）相连接的物体系统与圆盘一起运动时，当转速较小时，绳子（杆）没有张力，由静摩擦力提供向心力，方向都指向圆心；当转速较大时，其中一物体摩擦力达最大值，绳子（杆）开始出现张力，由摩擦力和张力的合力提供向心力；由于绳（杆）约束，两物体应同时开始发生相对滑动，说明此时都已达到最大静摩擦力，由向心力公式即可求得此时角速度和绳子的张力.

例3如图7所示，用细线相连的两个质量均为m的相同小物块A和B（可视为质点），沿半径方向放在水平圆盘上，A与转轴OO′的距离为2l，B与转轴的距离为l，物块与圆盘间的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力.圆盘静止时，细线处于水平且无张力，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，则（）

A.A、B两物体受到的摩擦力方向相反

B.当ω=7μg12l时，细线张力为μmg6

C.当ω=4μg3l时，两物体开始滑动

D.两物体开始滑动时，细线上张力为μmg3

解析A、B都做匀速圆周运动，合外力提供向心力，当转速较小时，绳子没有张力，A、B都是由静摩擦力提供向心力，方向都指向圆心，方向相同，故A错误；当ω=7μg12l时，对A有：T+μmg=mω2・2l，解得：T=μmg6，故B正确；当B开始滑动时，A、B所受静摩擦力均达最大，设此时细绳张力为T1：对A：T1+μmg=mω2・2l，对B：μmg-T1=mω2l，联立解得：ω=2μg3l，T1=μmg3，故C错误，D正确，正确答案为BD.

例4如图8所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ为π6，此时绳绷直但无张力，物K与转台间动摩擦因数为μ=13，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω，重力加速度为g，则（）

A.当ω=g2l时，细线中张力为零

B.当ω=3g4l时，物块与转台间的摩擦力为零

C.当ω=gl时，细线的张力为13mg

D.当ω=4g3l时，细线的张力为43mg

解析当转台的转速比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当绳恰好产生力时，静摩擦力达最大值，此时μmg=mω21lsinθ，ω1=2g3l，A正确；随转速增大，细绳的力增大，当物块恰好要离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用：mgtanθ=mω22lsinθ，解得：ω2=23g3l，由于ω1

3.倾斜放置型圆盘模型

模型解读：如图9所示，倾斜放置的盘绕轴做匀速圆周运动时，靠重力沿圆盘方向的分力以及静摩擦力的合力提供向心力，由于合力方向要始终指向圆心，故盘上不同位置，静摩擦力的大小和方向不同，最低点盘对物体的静摩擦力最大，力的方向沿盘向上，大小大于重力沿盘方向的分力；最高点盘对物体的静摩擦力最小，力的方向可能沿盘向下，可能沿盘向上，也可能静摩擦力为零，取决于圆盘角速度的大小.

例3如图10所示，两个质量均为m的小物块a和b（可视为质点），静止在倾斜的匀质圆盘上，圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动，a到转轴的距离为l，b到转轴的距离为2l，物块与盘面间的动摩擦因数为32，盘面与水平面的夹角为30°.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，若a、b随圆盘以角速度ω匀速转动，下列说法正确的是（）

A.a在最高点时所受摩擦力可能为0

B.a在最低点时所受摩擦力可能为0

C.ω=g8l是a开始滑动的临界角速度

D.ω=g8l是b开始滑动的临界角速度

解析若角速度较大，在最高点靠重力沿圆盘方向的分力以及静摩擦力提供向心力，b的向心力大于a的向心力，则b的静摩擦力大于a的静摩擦力，a在最高点的静摩擦力可能为零，故A正确；在最低点a靠静摩擦力和重力沿圆盘方向的分力提供向心力，合力指向圆心，则静摩擦力大于重力沿圆盘方向的分力，故B错误；在最低点，对a根据牛顿第二定律得μmgcos30°-mgsin30°=mlω2，解得a开始滑动的临界角速度ω=g4l，故C错误；在最低点，对b根据牛顿第二定律得μmgcos30°-mgsin30°=m・2lω′2，解得b开始滑动的临界角速度ω=g8l，故D正确.正确答案为AD.

综上所述，圆盘问题虽然涉及的知识点很多，分析时只要牢牢抓住圆周运动的核心和本质，以基本公式为出发点，以物理模型的特点为导向，把握物理运动过程的动力学特点、功能特点、临界状态下的信息条件，联立方程使问题得解.因此在学习时应注意对圆盘模型规律的总结，从而提高解题能力.

参考文献：

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