论高等代数教学中的化归

【摘要】化归法是数学方法论中最基本的方法之一，通过挖掘高等代数教材中的化归方法，探讨在教学中利用转化实现化归以及通过化归优化学生认知结构的各种途径.教师在传授知识的同时要有意识地向学生传授化归的思想.

【关键词】化归；转化；认知结构

【基金项目】该文为河北省高等教育教学改革研究项目（104081）的研究成果之一

化归，就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答.化归如同“翻译”，把同一问题用不同的形式在不同的水平上转化出来，若是等价转化，则所得的解就是原问题的解；若是非等价转化，必须对转化以后问题的答案作必要的修正才能得到原问题的解.“横看成岭侧成峰”，从不同的特征出发可把问题转化为不同的形式.在高等代数这门课程充分体现了化归这一思想，它不论从总体内容的安排，还是到具体问题的解决上，到处都体现着化归的思想.因此，在高等代数教学过程中，渗透化归思想对培养学生思维的深刻性、灵活性、敏捷性和独创性有很大的帮助，同时还可以优化学生的数学认知结构.

一、教学中运用转化促进化归

现代认知学习理论认为：学生认知结构的发展是在其认识新知识的过程中，伴随着同化和顺应的认知结构不断再构建的过程.高等代数教学的目标就是促进学生良好认知结构的形成，而这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的.实际上，无论是同化还是顺应，都是在原有认知结构和新的教学内容间，改造一方去适应另一方，这种改造就是转化.下面讨论在高等代数教学中如何运用转化促进化归.

1.通过抽象与具体的转化产生化归

具体是与抽象相对的概念，抽象是以具体作为基础，具体则是把抽象概括出的性质应用于具体的过程.高等代数是一门严谨的基础学科，其基本概念、定义、定理等内容是非常抽象的，而每一道数学问题又是具体的.我们要正确把握抽象知识与具体问题之间的逻辑关系，不但学会从具体到抽象的转化，还要学会将抽象的定理、问题具体化.

在高等代数中，体现这一转化思想的内容有很多，比如：抽象的因式分解理论与具体多项式的因式分解，抽象的初等变换与具体的行列式，抽象的线性方程组与具体的矩阵，抽象的二次型与具体的对称矩阵，具体的线性空间与抽象的线性空间，抽象的向量与具体的坐标，抽象的线性变换与具体的矩阵，抽象的线性变换形成具体的线性空间，抽象的内积与具体的度量矩阵，具体的欧氏空间与抽象的欧氏空间等等.以下以抽象的向量与具体的坐标以及抽象的线性变换与具体的矩阵为例，说明抽象与具体转化思想的渗透.

例如，设V是数域P上的n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是该线性空间的一组基，对于V中任一向量ξ与它在该基下的坐标（x1，x2，…，xn）之间建立了一个一一对应，即ξ=x1ε1+x2ε2+…+xnεn.

这使得对抽象向量的讨论化归为对具体n元有序数组的讨论.无独有偶，取定V的基ε1，ε2，…，εn，对V的任一线性变换σ，按

σ（ε1，ε2，…，εn）=（ε1，ε2，…，εn）A.

都对应一个矩阵A，这一对应不仅使V的所有线性变换组成的线性空间与n阶矩阵空间建立了同构映射， 而且这一对应还保持线性变换的加法、乘积、数量乘积对应于矩阵的加法、乘积、数量乘积，以及可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵等一些很好的性质.这样我们通过坐标， 可以把任一线性变换化归为“阵乘变换”σ（ξ）=Aξ来讨论.

对这种应用把抽象转化为具体处理问题方法的学习，可以使学生透过事物的表面现象而抓住它的本质，有利于培养他们的创新能力.

2.通过一般与特殊的转化实现化归

特殊与一般是对立的统一，在高等代数的学习与研究中，常通过特殊去探索一般，从一般研究特殊，特殊与一般在一定条件下可以相互转化、相互作用.特殊与一般相互转化的主要途径有：特殊到一般，一般到特殊，先特殊后一般，先一般后特殊.

高等代数中很多概念、基本理论与方法的建立体现了由特殊到一般的思想方法和一般到特殊的思想方法，如：n维向量引入是对二维向量、三维向量的推广， n维线性空间是对向量空间的推广， n维欧氏空间是对几何空间的推广，这些都是由特殊到一般的转化；在解题时，任意数域上的整除、最大公因式、因式分解、重因式、函数与根的问题转化到常见数域上的整除、最大公因式、因式分解、重因式、函数与根的问题，消元法将一般的线性方程组求解化简成特殊的阶梯形线性方程组，利用初等变换把矩阵化简成其阶梯形、标准形、合同标准形、相似对角形，在实线性空间上定义内积的运算得到欧氏空间理论，因此欧氏空间作为实线性空间，其中有基，也有特殊的基——正交基、标准正交基等，这都体现了一般转化为特殊的思想.另外，教材中的许多定理的证明都渗透了这种思想.

例如，在证明定理“每经过一次对换都改变排列的奇偶性”时，先证明特殊情形：被对换的两个数码在排列中是相邻的；再考虑一般情形：被对换的两个数码在排列中不相邻.把一般情形中不相邻数码的对换看成经过奇数次相邻数码的对换达到目的，这样把一般情形转化为特殊情形的证明，从而证明了该定理.

3.通过高维向低维转化进行化归

为使所讨论问题的数量关系更易把握，把复杂问题简单化是解决数学问题的常用方法，这其中一个很重要的方面是低维数化问题，即将需要解决的高维问题化为低维问题解决，高维转化为低维的表现方式主要有：（1）n维转化为三维；（2）高阶转化为低阶.通过上述转化，将对“高维”知识、问题的解决，转化为用“低维”的知识、方法、技能来解决.

在高等代数中，最能反映这一转化思想的内容有两部分，一是高阶行列式的计算，如利用按某一行（列）展开法则、递推法、行列式的Laplace展开定理将高阶行列式化为低阶行列式；二是高阶矩阵的运算，利用分块矩阵将高阶矩阵化为低阶矩阵.以下以高阶矩阵为例，说明从高维向低维转化思想的渗透.

例如，若求n阶可逆矩阵M的逆矩阵，可通过降阶公式M=A1B

C1D，其中D可逆，利用分块矩阵的初等变换计算以及对n×m矩阵A和 m×n矩阵B，λ≠0 时的基本公式|λEn-AB|=λn-m|λEm-BA|等的应用使得高维向低维转化思想的应用显得更精彩.

一般地说，低维问题比高维问题简单，通常是将高维问题化归为低维问题去解决，但有时却相反.例如，在计算行列式Dn=1111…11

x11x21…1xn

x211x221…1x2n

…1…1…1…

xn-211xn-221…1xn-2n

xn11xn21…1xnn时，需要增加一行一列，转化为n+1阶范德蒙行列式计算更为简单.

4.通过构造固定模式进行化归

数学从某种意义上来说是关于模式的科学，实际问题多种多样，千变万化，量与量之间的关系错综复杂.我们可以通过观察分析，将需要研究的、未知的问题转化为固定模式来讨论.

在高等代数中，这一思想有着极其广泛的应用.如，利用初等变换将n阶行列式化成的上三角形或下三角形；利用消元法解线性方程组时将其增广矩阵化成的阶梯形；在非退化的线性替换下，一个二次型化成的平方和；实对称矩阵的相似标准形、对称矩阵的合同标准形、复方阵的若尔当标准形、λ矩阵的标准形以及欧氏空间的标准正交基等均属于此范畴.这里以对称矩阵的合同标准形为例，说明固定模式化思想的渗透.

例如，设A∈Cn×n，A′=A，则存在可逆矩阵T，使得

T′AT=Er1

1O，其中r为矩阵A的秩.

对称矩阵的合同标准形保持了矩阵的“秩、对称性”不变.因此，只要给了对称矩阵的秩，它的标准形也随之确定.许多关于对称矩阵关系问题的讨论中，根据问题的结构特点，利用其合同标准形进行处理，这样做也符合化归目标的简单性原则.

例设A为n阶复对称矩阵且rA=r，求证：A可分解为A=T′T，其中T是秩为r的n阶阵.

证明因为A为对称阵，故存在可逆矩阵C，使得

A=C′BC=C′c111111

11111

11cr111

111011

11111

111110C，其中ci≠0，

于是又有A=C′c111111

11111

11cr111

111011

11111

111110

c111111

11111

11cr111

111011

11111

111110C=C′D′DC=DC′DC，取T=DC即可，该题中固定B为合同标准形使问题得到圆满解决.

二、利用化归优化数学认知结构

作为科技基础的数学，将作为一个有力的工具来从事科技的学习和研究.如何使学生具备良好的认知结构是极其重要的.下面说明如何利用化归使高等代数的认知结构优化.

1.揭示知识内在联系，掌握知识内在结构

根据同化理论，数学学习主要是有意义的学习，如果原认知结构中的某些观念与新知识具有实质的、非人为的联系，可根据新旧知识的逻辑关系，把原有的认知结构主动地与新知识相互作用，形成新的认知结构，而作用的方式主要是“同化”或者“顺应”，即在原有认知结构和新的数学内容间，改造一方去适应另一方，这种改造就是转化.在数学教学中，教师要充分利用“转化”这一数学思想方法，以它为主线，启发学生找到教材中的核心内容，掌握知识的内在结构的相互联系，这样既可简化知识，又可灵活运用知识和产生新知识.

2.把握学生现有数学认知结构，从教材的呈现程序方面促进化归

教学的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么，学生的现有数学认知结构是数学教学的出发点.认知心理学认为，影响新的有意义学习的最重要条件就是学生已有认知结构的实质内容和它的组织特点.因此，在高等代数教学过程中，教师要了解学生现有数学认知结构中是否具有足够的、学习新材料所需要的相关观念，没有的要补充，学过但可能遗忘的要复习；分析新材料与已有数学认知结构中相关观念间的关系.根据学生认识新事物的自然顺序和认知结构的特点，教材的呈现也要遵循相应的顺序.

通过以上的论述可知，化归思想体现在高等代数教材的各个方面，只要我们注意挖掘，并在传授知识的同时作有意识的点播和渗透，就一定会在提高高等代数教学质量、优化学生认知结构等方面收到显著效果.同时，也应注意到，化归法主要是一种解决问题的方法，而不是发现问题的方法，这是化归法本身的局限性.因此，在高等代数教学中渗透化归方法的同时， 应加强其他思想方法的渗透， 将各种思想方法合理结合，灵活运用。