浅谈化归与转化及其解题应用

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2015）06-0270-01

在平常的数学问题解决中，学生常会陷入束手无策的境地，其主要原因是基本的解题技能技巧不熟练，数学思想方法没有领会与掌握，思维能力低，应变能力不强成。本文就化归与转化思想的解题思路、其在解题中的意义、课用此方法求解的类型及其转化方向等几方面来讲解此方法，以便让学生领会化归与转化这种数学思想方法，认识到数学的本质，以培养学生良好的思维能力和应变能力，提高解决问题、分析问题的能力。

1.化归与转化思想的意义及功能

1.1化归与转化思想的内涵。有些数学问题的解决，我们可直接套用基本数学知识、技巧、方法即可解决，但对大部分的数学问题，我们想直接处理却往往难以入手。这时，我们经常会对原问题换一个角度、换一个方式、换一种观念来进行思考，经过分解、变形、变换成熟悉的问题，通过对新问题的求解，从而得到原问题的结果或解法，这就是化归与转化思想的基本想法。为了理解其基本想法，我们先来看一个例子。

例1.若关于x的方程（2-2-|x-2|）2=2+a有实根，求实数a的取值范围。

分析：令f（x）=（2-2-|x-2|）2，要使f（x）=2+a有实根，只需2+a是f（x）的值域内的值即可，即2+a的范围转化为f（x）的值域求解。因为f（x）的值域为[1，4），所以1≤2+a

在例1的分析中看出，对一些陌生的难以入手的数学问题的解决，只要经过适当的变形或转换叙述，就可以转化为我们熟悉的数学问题，变得易于解决。

1.2在中学数学中，常见的要用或可用化归与转化思想求解的类型题及其转化方向：

（1）直接转化法：把原命题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

（2）换元法：运用"换元"把式子转化为有理式或使整体降幂等，把较复杂的函数、方程、不定式问题转化为易于解决的基本问题。

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径。

（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，达到化归目的。

（5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题。

例2.正三棱锥E-ABC的两个侧面所成的二面角的取值范围为：

A.（0，π3）B.（0，π2）C.（π3，π）D.（π2，π）

分析：若正面去求解，这会很繁杂。可用一般化与特殊化思想去处理它：当点E无限靠近或远离底面ABC时，απ，或π3，即得C.

1.3化归与转化思想的解题思路及转化途径：

化归与转化的一般模式是：待解问题A经过转化的问题B对问题B进行求解，由问题B的结果或解法得到原问题的结果或解法，在转化中有等价与非等价转化之分。在转化过程中，如造成自变量或因变量的范围改变，则为非等价转化，这样往往需要对其结果加以修正。

例3.求函数y=cos2xcosx-sinx的值域。

错解：y=cos2x-sin2xcosx-sinx=cosx+sinx=2sin（x+x4），因为|sin（x+x4）|≤1，所以y∈|-2，2|。错因：转化是非等价的，没有考虑cosx-sinx≠0，即x≠kπ+π4，故|sin（x+π4）|

在求三角函数的值域时，不仅要考虑分母不为零，还必须结合其图像和性质（定义域、值域、单调性等）。在转化过程中，如每一步都是可逆的，则为等价转化。

在对各种综合数学问题的解决的转化过程中，不论何种途径的转化，其关键之处是：①如何转化，即明确转化的对象；②转化到哪里去，即明确转化的目标模型③转化的途径和方法技巧。至于对每一个具体问题如何实现这种转化过程，以及能否单独依靠化归与转化的方法解决问题，则既要在多方面探索，还要加上各种辅助技巧。

2.高考中对化归与转化数学思想的考查程度及意义

在初等数学解题研究中，化归与转化的思想无处不在，它是寻求问题解决过程中最重要、最活跃的一个环节，是分析问题、解决问题的有效途径。化归与转化思想在高考试卷中随处可见，下面摘选一些近几年来对化归与转化思想考查的部分高考试题，供大家练习、欣赏。

2.1（2014年）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|=54x0，则x0=A.1B.2C.4D.8

分析：有题意知抛物线的准线为x=-14。因为|AF|=54x0，根据抛物线的定义进行点线距与点点距的转化可得x0+14=|AF|=54x0=1，解得，故选A。

2.2（2014年）若函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是

A.（-∞，2]B.（-∞，-1]C.[2，+∞）D.[1，+∞）

分析：易得f`（x）=k-1x，因为f（x）在（1，+∞）上单调递增，转化为f`（x）=k-1x≥0（x>1）恒成立，即k≥1x在（1，∞）上恒成立，因为x>1，所以0

3.怎样更有效地掌握好化归与转化这一种思想方法

在数学问题解决中，我们都深知数学中化未知为已知，化繁为简，化新为旧，化难为易等方法的普遍意义。如何更有效地掌握好化归与转化这一种数学思想方法，我认为首先你的有一套做法（就是常规的思维习惯）。你要解一道题，那当然先要把题意弄清楚：已知？未知？能否图形化和符号化？还要对它们因果关系进行分析，并加以有条理地表述，使图形、符号、数字等各种数学对象跃然纸上，为下一步打好基础，弄清题意之后，就要寻求解题途径。如题目已见过，知道有可用的定义、定理、法则、公式、结论或解法，则题目可解，否则就要将题目进行分解、变形、变换或将已知、未知进行、改变叙述、变换题目，使已知向未知靠拢，未知向已知靠拢，或变换为熟悉的已知、未知，运用熟悉的知识点、结果、解法进行求解。

从上述化归与转化这一种数学思想方法的介绍可知道，要领会掌握化归与转化等各种数学思想方法，学生必须有广阔而扎实的专业基本知识以及掌握各个知识之间的内在联系，只有这样才能做到灵活转化，从而创造性地解决问题。反过来，当学生能运用数学思想方法解题时，可以说他学数学已经入门，其会对数学越来越有兴趣，会主动积极地吸取知识，深入理解各种数学思想方法，提高解决问题的应变能力，提高解决问题的思维能力和技能技巧。