利用旋转变换思想归类解决一些几何问题

图形旋转特征要求图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

例1：已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是BC、CD上的动点，（1）如图1，设O是正方形ABCD对角线的交点，若OMON，求证：BM=CN；（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为4 cm，求四边形MONC的面积；（3）如图2，若∠MAN=45°，试说明MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半。

解：（1）正方形ABCD中DOC绕点O顺时针旋转90°到COB，NOMON点为旋转90°后对应点为M点，即NOC绕点O旋转90°到MOBCN=BM

（2）S四边形NOMC=SNOC+SCOM=SMOB+SCOM=S四边形ABCD=×16=4 cm2

（3）将ADN以点A为旋转中心顺时针旋转90°到ABD，则∠1=∠2，AN=AD′，DN=D′B，又正方形ABCD中，∠DAB=90°，AB=BC=CD=DA

∠1+∠NAM+∠3=90°∠NAM=45°∠1+∠3=45°∠2+∠3=45°即∠MAD′=45°

∠NAM=∠D′AMAM=AMNAM≌D'AMNM=D′M

D′M=BD′+MB=DN+BM

CNM的周长：NC+NM+CM=NC+MB+DN+CM=DC+CB=2BC又正方形ABCD的周长。

AB+BC+CD+DA=4BCCNM的周长=正方形ABCD的周长

二、旋转变换不改变图形的形状、大小，它是全等变换的一种

例2：两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图3所示放置，图4是它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连接DC。

（1）请找出图3中的全等三角形，你能够从图形变换的角度说明全等的理由吗？

（2）请从图3中写出一个不仅仅是关于ABC、DAE的边或角的正确结论，并说明结论正确的理由。

解：把ABE绕点A逆时针旋转90°到ACD，则ABE≌ACD∠ACD=∠B=45°，BE=CD，∠AEB=∠ADC又RtABC中AB=AC∠ACB=45°

∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°DCBE

本题灵活利用旋转变换得到全等三角形，利用全等三角形得到角、线段的数量或位置关系。

例3：如图5，ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边BCD，把ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°到ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长。

解：ABD绕点D按顺时针旋转60°到ECDABD≌ECDAB=ECAB=3EC=3，AD=EDADE=60°ADE是等边三角形∠BAC+∠BCD=180°

∠ACD+∠BCE=180°A、C、E三点共线∠DAE=60°

∠BAC=∠BAD+∠DAE=120°

∠BAD=120°-∠DAE=60°AE=AC+CE=2+3=5

例4：扬州市2007年中考数学题如图6，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。

（1）以图中已标有字母的点为端点，连接两条线段（正方形的对角线除外），要求连接的两条线段相交且互相垂直，并说明互相垂直的理由；

（2）若正方形的边长为2 cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为 cm2，求旋转的角度。

分析：只要看出BCE绕C点旋转90°，就是DCG，就有结论成立。

证明：正方形ABCD与CEFG中，DC=BC，GC=EC，∠DCG=∠BCE=90°DCG≌BCE即DCG看作BCE绕点C顺时针旋转90°到DCG的位置BEDG

旋转结合全等、勾股定理等知识加以考查是中考热点，它较好地体现了优等生与学困生的区分度。

例6：如图8（A），在ABC中，∠ACB=90°，把ABC绕点C顺时针旋转到A1BlC的位置，旋转角为α（0°

分析：第一问比较简单证明∠A1BC=∠ABC=∠BlCB，第二问分类讨论（1）当CD=AC时，CD=6

（2）当CD=DA1时如图8（C），CH=HA1=3由A1HD∽ACB，可得DH=4，DC=5

利用旋转可以帮助我们解决很多实际问题，因此它既是数学的一个重要基础知识，又是重要的数学思想方法，对培养学生思维能力，树立变化观点很有重要意义。

作者简介：邓晓飞，男，本科，就职于江苏张家港市塘市初级中学，研究方向：数学教学。