利用图形表征促进问题解决

表征在辞典中的解释为“揭示，阐明”之意，是外部事物在心理活动中的内部再现，它一方面反映客观事物，代表客观事物，另一方面是心理活动进一步加工的对象。表征是一种心理过程，即学生对问题的理解和内化，也是问题理解的一种结果，即问题在头脑中的呈现方式。

在现实教学中，很多学生学习数学都有这样的感受，公式定理记了不少，教材中的题目似乎也一看就懂，遇到陌生问题常常感到无从下手，不知所措。究其原因是多方面的，其中很重要的原因是解决问题的表征形式影响学生的思维方式，导致学生不能有效解题。对题目做什么样的表征，这种表征是否适宜，直接影响问题解决的难易、快慢和成败。图形表征在问题解决中起着相当重要的作用，图形表征可以使抽象的题目变得形象，运用图形表征可轻巧地找出一些文字中未经解释的有用信息，促进问题的解决。在小学数学教学中有很多内容是应用了图形表征的方法，这符合小学生的认知能力。

一、画图搭桥，抽象问题具体化

随着新课改的逐步深入，解决问题的呈现形式更丰富多彩，内容更具有广度和深度，学生面对实际问题时，会主动尝试用自己的方式方法理解题意，内化为自己可以接受的题目。图形表征是众多的表征题意中最基本的，也是一种很重要的方法。示意图能为学生理解抽象的数学问题搭好桥，帮助学生化抽象为形象，化复杂为简单，化无序为有序，从而使学生找到解决问题的突破口，并形成解决问题的思路。

例如：17个小朋友站成一排，从左往右数，芳芳排在第9;从右往左数，兵兵排在第4。芳芳和兵兵之间有多少个小朋友？这一题初看题目比较难理解，但是如果学生自主地用、等简易符号表示17个小朋友，再找到芳芳和兵兵的位置，再现站队场景，列式解决就方便得多。这样把一道文字呈现的题目以符号的形象展示，使得抽象的问题具体化，降低解决问题的坡度。

二、形式多样，表征问题灵活化

在传统解决问题教学中，提到画图老师们想到的是线段图，他们往往把画线段图作为一个知识教给学生，而不是作为一种方法，所以学生往往不会按照老师的要求画出标准的线段图，甚至不会主动画图。新的教学理念指引我们要不断研究，要把它看做是帮助学生解决问题的一个表征能力进行教学，不断总结，教给学生多样的画图的方法，提高学生自主运用图形帮助我们进行问题表征。

1.线段图：可以把题意简洁形象的表现出来，在表示两个量的比较关系中比较常用。例如：青云小学十月份用水440立方米，比九月份节约20%。九月份用水多少立方米？学生第一时间可能会列出440-440×20%，这时教师不要急于下结论，而是引导学生将题意用线段图表示出来，理解单位“1”是九月份，找到量与分率的对应关系，从而正确理解题意，确定用方程解决问题的方法。

2.树状图：有些特定的解决问题，思考时具有一定的顺序性，我们可以根据题意画出树状图，边画边思考，答案慢慢就水落石出。例如在教学“搭配中的规律”时，使用“树状图”会更直观：有3件不同的衬衣和5条不同的裤子，配成一套衣服，一共有几种不同的搭配方法？学生凭借大脑想象比较困难，这时用简单的符号表示衬衣和裤子，连线搭配，通过画图，题目就能迎刃而解。又如有16支球队参加比赛，比赛以单场淘汰制进行。数一数，一共要进行多少场比赛后才能产生冠军？学生根据题意自己画图，在示意图中理解淘汰制的规律就找到解决问题的思路。

3.示意图：在解决问题的过程中，学生会根据自己的经验，画出一些让我们意想不到的图。在这种情况下，教师既要充分肯定学生画图的创意，保护学生学习数学的兴趣，又要通过图形帮助学生理解学习数学知识的价值。例如：王大爷想靠墙围一块长8米，宽5米的长方形菜地，请你帮王大爷算一算需要篱笆多少米？学生可以将题意用图形表示出来，如果是一面靠墙，该是长边靠墙还是短边靠墙呢？如果节约篱笆可以两面靠墙吗？这种图形对学生有一定的挑战性，经过这样的尝试，学生真正理解长方形的周长知识在生活中的实际运用。

教学要真正做到培养学生运用图形表征的能力，不是在加深问题的难度上下工夫，而是要通过有代表性的又为学生容易接受的题目，着重培养学生的画图兴趣，使学生产生迁移。这样即使遇到一些陌生的题目，学生经过自己的画图、分析也能找出解答方法。因此教师要鼓励学生灵活运用图形表征题意，分析和解决问题。

三、循序渐进，画图方法习惯化

图形表征的掌握不是一朝一夕就能学会，而是需要从低年级开始不断训练才能形成。我认为教师应该分三步进行引导。第一阶段：自由画图阶段，是用画图理解问题解决的初级阶段，即低年级阶段。这时老师可以放手，让学生自由发挥，无论学生画得如何，教师都应该鼓励他们。第二阶段：规范画图阶段，即中年级阶段。当学生想画图，但画出的图不够规范，不能准确表示题意时，引导他们将所画的图形不断规范，标出题目中的已知条件和问题，形成相对标准的图形。第三阶段：脑中成图阶段，这是用画图方法表征题意的最高阶段。这时学生在图形表征的长期训练后，看到题目能在脑中想出示意图，然后根据脑中的示意图解决问题，从真正意义上提高学生的解题能力，一般高年级的学生具备这样的能力。学生通过图形表征解决问题，就能感受到直观示意图对于解题的作用，形成应用图形表征题意的兴趣和自觉性。

学生有着不同的知识背景，对题意的理解方法也各不一样，这正是学生个性的体现。图形表征固然是一种很重要的表征方式，但在解决实际问题中要灵活应用，需要与其他学习方法相结合，充分发挥其作用，达到提高学生解决问题能力的目的。