思想引领,解题方便

众所周知，思想是行动的指南，数学解题亦是如此，这句话在本章中体现得尤为明显. 为了帮助同学们很好地复习这一章的内容，本文以近几年的中考试题为例，详细介绍几个重要的数学思想在解题中的应用，供同学们学习时参考.

一、 分类讨论思想

数学中的分类讨论思想，也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类.将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合.分类讨论是根据问题的不同情况分类求解，它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法.分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力.

例1 （2013・山东烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）.

A. 5 B. 5或6

C. 5或7 D. 5或6或7

【解析】根据“一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形”可知，形成的新多边形的边数没有说明白，那么，就要根据不同情况进行分类讨论了.仅就五边形为例，截去一个角后就有三种情况，可以得到四边形、五边形和六边形，如图1.

那么，对于本题，也是如此. 即设新多边形的边数为n，则根据多边形内角和公式，有

（n-2）×180°=720°.

解得n=6.

然后进行分类：

①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为5；

②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为6；

③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为7.

所以，多边形的边数可以为5， 6或7. 故选D.

【评注】本题考查了多边形的内角和定理，分三种情况进行分类讨论是解题的关键.

二、 整体思想

有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题. 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构或整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想. 这种思想在初中数学中的很多方面有着很好的应用，因此，在每年的中考中涌现了许多独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.

例2 （2013・泰安）如图2，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）.

A. 90° B. 180°

C. 210° D. 270°

【解析】要求∠1+∠2+∠3的大小，不能分别求出它们各个角的度数，故可以将它们看作一个整体来求. 容易发现，∠1、∠2、∠3是这个五边形的三个外角，然后联想“多边形的外角和为360°”，那么只需求出另外两个外角（或它们的和）的度数即可.故延长后得到另两个外角∠4和∠5，如图3. 根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4+∠5=180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，最后根据多边形的外角和定理即可解得.

【评注】本题从表面上来看，好像无法求解. 如果将∠1+∠2+∠3看做一个整体，再联想多边形的外角和定理，问题就很容易得到解决. 故用好整体思想，理清求解思路是解题的关键.

三、 方程思想

在本章的习题中，有很多利用设角、边或边数为未知数，利用题目中的等量关系建立方程来解决问题. 这种利用方程（组）来思考和解决几何问题的思想就是方程思想.

例3 （2013・贵州省黔东南州）在ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B=_______度.

【解析】在三角形中，有内角和为180°，这是一个隐含条件. 一般地，要求∠B的度数，还需要两个独立条件. 可是题目中只给出了一个条件，那么，需要将这个条件做处理才能达到目的. 仔细观察∠B-∠A=∠C-∠B可知，先将它整理得到∠A+∠C=2∠B，然后将∠A+∠C看作一个未知数，将∠B看成另一个未知数，于是可得方程组，则∠B可求.

解：60.

【评注】本题主要考查了三角形的内角和定理，求出∠A+∠C=2∠B得到方程组是解题的关键.

四、 数学建模思想

数学模型就是一种数学结构，它是使用数学符号、数学式子及数学关系对现实原型作一种简化而本质的刻画. 数学模型方法是把所要解决的实际问题，转化为数学问题，求解数学问题，使实际问题得以解决的一种数学方法. 数学建模思想方法作为数学的一种基本方法，渗透在初中数学教材的各个知识板块当中，在本章中也不例外. 同学们学习掌握这种思想方法是完成学习任务和继续深造学习必备的基本能力.

例4 （2012・江西省）如图4，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（ ）.

A. a户最长 B. b户最长

C. c户最长 D. 三户一样长

【解析】根据平移的性质，将电线中横的和竖的线段分别进行平移，便可直观观察到都是相等的，如图5. 因此a、b、c三线长度相等. 故选D.

【评注】对实际问题，我们可以采用数学建模思想，将实际生活中的电线想象成一些平行的线段.那么，这个实际问题就变成了比较这三组线段的长度了.再联系平移的有关性质，就可以解决这个数学问题，进而达到解决这个实际问题的目的.

（作者单位：湖北省孝感市肖港初级中学）